第2讲二次函数.doc

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1、第2讲:二次函数一.图形的对称1.轴对称图形:2.中心对称图形:3.平面直角坐标系内的对称点对称点或对称直线方程x轴y轴(a,b)原点直线x=a直线y=b直线y=x直线y=-x二.二次函数的配方:三.二次函数的图像及性质:1.当a>0时,函数图象开口方向;顶点坐标为,对称轴为直线;当时,y随着x的增大而;当时,y随着x的增大而;当时,函数取最小值.2.当a<0时,函数图象开口方向;顶点坐标为,对称轴为直线;当时,y随着x的增大而;当时,y随着x的增大而;当时,函数取最大值.四.二次函数的三种表示方式:1.一般式:;2.顶点式:;3.交点式:;四、二次函数

2、与一元二次方程:例1.求一元二次函数的最值例2.当时,求函数的最大值和最小值.变式1:(2008·浙江)已知t为常数,函数y=

3、x2-2x-t

4、在区间[0,3]上的最大值为2,则t=________.变式2:二次函数在区间上最大值为5,求实数a的值变式3:如果函数定义在区间上,求的最小值例3:二次函数y=x2-2(a+b)x+c2+2ab的图像的顶点在x轴上,且a,b,c为△ABC的三边长,则△ABC为(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例4:已知f(x)=1-(x-a)(x-b),并且m,n是方程f(x)=0的两根,则实数a

5、,b,m,n的大小关系可能是(  )A.m0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为如下图之一,则a的值为(  )A.1B.-1C.D.例6:(2008·上海十二校二模)已知f(x)=

6、x2-1

7、+x2+kx,若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个解x1,x2,则k的取值范围是________.例7:设x、y是关于m的方程m2-2am+a+b=0的两个实根,则(x-1)2+(y-1)2的最小值是________.例8:已知x1,x2是关于x

8、的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;(2)求使-2的值为整数的实数k的整数值;(3)若k=-2,,试求的值.例9:设方程x2-x+1=0的两根是α,β,求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).例10:设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1、x2满足0

9、证明:x0<.【同步练习】一、选择题1.抛物线的顶点坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)2.二次函数的最小值是().A.2B.1C.-3D.3.二次函数的图象如图所示,则下列关系式中错误的是()A.a<0B.c>0C.>0D.>04.向上发射一枚炮弹,经x秒后炮弹的高度为y公尺,且时间与高度的关系为y=ax2+bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则其在下列哪一个时间的高度是最高的()A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒5.函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是()二、填空题1

10、.抛物线,当=_____时,图象的顶点在轴上;当=_____时,图象的顶点在轴上;当=_____时,图象过原点。2.用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为______。3.二次函数的最小值是__________,的最大值是_____。4.函数,当时,则的取值范围是_____________。三、解答题1.求函数在区间上的最大值和最小值。2.已知,求函数的最值。【试题答案】一、选择题1.A2.A3.D4.B5.C二、填空题1.4,14或2,2.3.3,4.三、解答题1.解:函数是定义在区间上的二次函数,其对称轴方程是,顶点坐标为(

11、2,2),且图象开口向下,显然其顶点横坐标在[0,3]上,如图所示。函数的最大值为,最小值为。2.解:由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程为,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图所示。函数的最小值为,最大值为。

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