湖南省长沙市长郡中学2018届高三第四次月考数学理试题含答案

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1、www.ks5u.com炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（四）数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件

2、D．既不充分也不必要条件4．在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（）A．B．C．D．5．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．C．2D．7．已知是平面内夹角为90°的两个单位向量，

3、若向量满足，则的最大值为（）A．1B．C．D．28．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．1009B．-1009C．-1007D．10089．已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．2D．10．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（）个.A．53B．59C．66D．7111．椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取

4、值范围为（）A．B．C．D．12．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．选择题答题卡题号123456789101112得分答案第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本答题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。13．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为．14．已知函数，若正实数满足，则的最小值为．15．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点

5、在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是．16．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，若抛物线与直线在第一、四象限分别交于两点，则的值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，.（1）求的长；（2）若，求的值.18．(本小题满分12分)现有4名学生参加演讲比赛，有两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择题目，掷出其他的数则选择题目.（1）

6、求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率；（2）用分别表示这4个人中选择题目的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.19．(本小题满分12分)如图1，在矩形中，，，点分别在边上，且，，交于点，交于.现将沿折起，使得平面平面，得到图2.（1）在图2中，求证：；（2）在图2中，若点是线段上的一动点，问点在什么位置时，二面角的余弦值为.20．(本小题满分12分)已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.21．(本小题满分12分)已

7、知函数，.（1）若函数存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围；（2）设，若有极大值点，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）设点，直线与圆相交于两点，求的值.23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求函数的值域；（2）若试比较，，的大小.