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1、資優數學研習營基本不等式講義2006/02/12師大數學系教授黃文達定義：基本性質：（1）封閉性：（2）正定性：基本技巧：解題策略1.配方例1、函數的最小值為。解：練習：設αβγ為三角形三內角，對於任意實數x,y,z，求證：2.化歸例2、若，則的最小值為。ANS：1例3、若，則的最大值為。ANS：x=時的最大值為例4、設x,y均為實數，且滿足，則的最大值為，最小值為。提示：令x=u+v,y=u-v，則9因此的最大值為，最小值為。例5、設x,y均為實數，且滿足，則的最大值為，最小值為。提示：令，則因此的最大值為，最小值為3.
2、三角換元例6、函數的最大值為、最小值為。提示：令例7、已知x,y,a,b均為正實數，且，則x+y的最小值為。解：設則4、數形結合例1、函數的最小值為。提示：設例2、實數x,y滿足方程，則2x-y的最大值為，最小值為。提示：直線2x-y＝b與圓有公共點9，圓心到直線的距離小於半徑，則例3、若，則u的最小值為。提示：設2x+y=1+t，則直線2x+y=1+t與圓有公共點則思考題：1.若，則不等式的解為。提示：設為雙曲線的上半部，直線y=ax的斜率a≦-1，直線y=ax介於y=-x與y=0之間，故x>0時的解為x≧1，x<0時的
3、解為x≦-12.複數z滿足，則的取值範圍為。提示：此時點z的圖形是一段圓弧，以線段，B(1,0)為弦，圓周角為，依圖可解出的取值範圍為3.已知均為銳角，且滿足，則的最大值為。提示：視αβγ為向量[a,b,c]的方向角，則例4.設x,y,z都是正實數，求證：提示：9練習：1.（86年度全國能力競賽）設x,y,z為正整數試證2.求函數的最小值例5.對於滿足1£r£s£t£4的一切實數r,s,t，求的最小值提示：表示點（1,1）到雙曲線xy=s的距離，表示點（1,1）到雙曲線xy=的距離例6、函數的最大值為，最小值為。提示：表示
4、點（-2,-1）到單位圓上的點(cosx,sinx)的連線段斜率，故最大值為，最小值為05.算幾不等式例1、已知x,y,z均為正實數，且，則的最小值為。解：利用算數平均數大於調和平均數知例2、已知x,y,z均為正實數，則的最大值為。解：99例3:設a,b,c都是正數﹐證明abc³(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)若a+b-c,b+c-a,c+a-b中有負數﹐設a+b-c<0﹐則c>a+b﹐b+c-a,c+a-b均為正數﹐結論中左式為正﹐右式為負﹐顯然成立。若a+b-c,b+c-a,c+a-b均為非負﹐由平均不等式知
5、將上述三式相乘即得。例4、設a,b,c為正實數滿足.證明:.解：因為,可令,,,其中x,y,z為正數。原不等式可改寫為由x,y,z這三個數的大小關係，易知,,這三個數之中至多有一個數為負。Case1.若u,v,w這三個數中恰有一數為負，則.Case2.不妨設,,.由算幾不等式可得.同理可得，,;因此.例5將長為a的桿子三根沿著河岸圍成一個等腰梯形，試求此梯形的最大面積解：設底角為t則等腰梯形的面積為A=[accost+a]asint=a2sint(1+cost)則故得最大面積為9例6：設＜＜，試求+的最小值。解：故且等號成
6、立練習、設x為銳角，則的最小值為。提示：等號成立的條件為96.柯西不等式例1、設實數m,n,x,y滿足，則mx+ny的最大值為，最小值為。解：故知mx+ny的最大值為，最小值為-例2、設實數x,y滿足，則2x-3y的最大值為，最小值為。解：例3、若a,b均為實數且滿足，則之值為。解：例4、當點P沿著直線移動，點Q在橢圓運動時，線段PQ的長度最小為。解：橢圓上的點(x,y)到直線的距離為因故線段PQ的長度最小為9例5、在對角線長為3的長方體中，對角線在相鄰三個平面上的射影長的和最大為多少？解：設長方體的長寬高分別為a,b,c
7、,則，對角線在相鄰三個平面上的射影長的和為最大值為9
