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《第六章.微分中值定理和应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、范文范例学习指导第六章微分中值定理及其应用§1Lagrange定理和函数的单调性一、Roll中值定理与Lagrange中值定理定理6.1(Roll定理)若满足：（1）（2）在可导（3），则证明：必在有最大值M和最小值m，若M=m，则为上的常值函数，结论显然；若Mm,则M与m必有其一在内部某点取得，故为必极值点，由Fermat知.例1在R上可导，若无实根，则=0至多只有一实根定理6.2（Lagrange）若满足1），2）则——Lagrange中值公式证明：作辅助函数即可。Lagrange中值公式的基本形式例2证明对一切h>-1,h0成立不等式证明：考虑函数,x在0与h之间，显然在0到h组成的闭区
2、间上连续，开区间上得，当h>0时，①；当-11+h>1+h>0②；由①②知，当h>-1时,且h0时,word整理版范文范例学习指导推论1若f在区间I上可导，且则f为I上的一个常量函数.证：,设，则f在上满足Lagrange中值定理的条件.,s.t.；这说明I上任意两点处f的值皆相等，故f在I上为常量函数.例证明：在上恒有证明：设,则f(x)在[-1,1]上连续,在[-1,1]可导.且，而,推论2若f，g在I上皆可导，且，则在I上与至多只相差一个常数，即（c为常数）推论3（导数极限定理）设f在的某邻域内连续,在内可导，且存在，则f在可导，且证明：按左右导数证之.,f在上满足Lag
3、range定理条件，,s.t.又，当时，，对上式两边取极限.设，同理可设，又存在,记为K，故例3求分段函数的导数.解:略定理区间I上处处可导的函数f其导函数在I上不可能有第一类间断点.word整理版范文范例学习指导二、单调函数定理6.3设f在I上可导，则f在I上递增（减）的充要条件是证明：若f为增函数，当时，，由不等式性知，反之，若f在I上恒有，则对且对f在上用Lagrange中值定理，当,s.t.在I上增。例4设f(x)=x3-x,试讨论函数f(x)的单调区间.定理6.4若f在内可导，则f在内严格单增（单减）的充要条件是(ⅰ)(ⅱ)在内的任何子区间上推论若f在区间I上可微，若则f在I上严格递
4、增（递减）例5证明不等式ex>x+1,x≠0.复述定理6.4及推论例1.设，证明：证明：，，，：，，用，例2.例3.word整理版范文范例学习指导例4证明：，，，，，又中，，，.§2Cauchy中值定理和不定式极限一、Cauchy设满足：在上都连续；；；；证明：作辅助函数，易知上满足Roll定理的条件，故有结论。注：1）可否对分别用Lagnange中值定理证之2）几何意义word整理版范文范例学习指导，，例1证明：.即证证明：Cauchy中值定理的条件，即证。二、不定式极限（法则）1、型不定式极限定理6.6若满足：；证明：补充定义，用Cauchy中值定理得：.注：1）定理中，仍为型不定式，可再
5、次用法则word整理版范文范例学习指导例2求例3求解：例4求2、型不定式集极限定理：若满足；在的某邻域内可导，且则证明：证A为定数的情形，由，对当满足时有，由，对在上用中值定理，即由有：，由，word整理版范文范例学习指导3、其它类型不定式极限还有等型不等式，主要通过将其转化为型来处理。例7求例8求解：此为型例9求（k为常数）例10求例11例12设且已知解：例13求word整理版范文范例学习指导解：先求§3公式多项式逼近函数为其实质一、带有型余项的公式在可微，则用一次多项式代替，误差为一次项的高阶无穷小，对实际问题需要误差更高阶无穷小为此，设在的各阶导数分别为即，，，…，这说明，多项式的各项系
6、数由在的各阶导数以唯一确定。对于一般函数，设其在有直到阶导数，于是可以形式地放到一个多项式word整理版范文范例学习指导(B)称(B)为在的多项式的多项式系数，称为系数，然后是否等于，若不等，误差应是多大呢？定理6.8若函数在存在直到阶导数，则有即为证明：要证证由可知k=0、1、2…n故又显然有而由存在，故在点的某邻域内存在阶导函数，当，且时，对不等式，连续使用次法则可证word整理版范文范例学习指导即注1若在附近满足其中，为的次多项式，但未必是的Taylor多项式例当为函数，在处只有一阶导函数而无其他阶导数然而若改就有但非的Taylor多项式，即不等于注2的带有Peano型余项的次逼近多项式
7、是唯一的，即注3当时，公式变为称为的公式该记忆的几个基本函数的公式①②word整理版范文范例学习指导③④⑤⑥验证，②④证明②代入即证例②例2写出的麦克劳林公式，并求与.例3求在x=2处的泰勒公式.例4求极限.二、带Lagrange型余项的Taylor公式定理6.9若函数在上存在直至阶连续导数，在内有阶导数，则对任意给定的至少存在一点，使得=++证：作辅助函数word整理版范文范例学习指导，于是要证
