第六章微分中值定理及其应用

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1、第六章微分中值定理及其应用P.127习题1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使：（1），（2）解（1）因为在连续，在可导，且，所以由Rolle定理，，使得。（2）因为，且不存在，故不存在一点，使2．证明：（1）方程（这里c为常数）在区间内不可能有两个不同的实根；证明设，由于方程在内没有根，所以（由P.120，例1）方程在区间内不可能有两个不同的实根。（2）方程（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。证明设，于是。当n为偶数时，n-1为奇数，故方程至多有一个实根（因为幂函数严格递增），从而方程至多有两个实根；当n为奇数

2、时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程至多有两个实根，从而方程当n为奇数时至多有三个实根。3．证明：若函数和均在区间上可导，且，，则在区间上和只相差一常数，即（c为某一常数）证明令，则在区间上可导，且，由推论1，存在常数c，使得，即4．证明（1）若函数在上可导，且，则（2）若函数在上可导，且，则（3）对任意实数，都有证明因为在上可导，所以在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得（1）因为，所以，从而有（2）因为，所以（3）不妨设，正弦函数在上连续，在可导，于是，使得5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1），其中证明设，则在

3、上连续且可导，所以在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得，因为，所以，从而（2），其中证明设，则在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得。因为，所以，从而。6．确定下列函数的单调区间：（1）（2）（3）（4）解（1），令，得当时，，递增；当时，，递减。（2）的定义域为。，令，得当时，，递减；当时，，递增。（3）的定义域为。，令，得当时，，递增；当时，，递减。（4）的定义域为。，故在其定义域递增。7．应用函数的单调性证明下列不等式：（1），证明设，则在连续，且。因为，，故在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。（2），证明先证，为此

4、证明：。设，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递减，于是，从而，。其次证明：。设，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。（3），证明先证：，。令，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递减，又因在连续，于是，从而，。其次证明：，。令，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。8．以记由,,三点组成的三角形面积,试对应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.证明因为,若在连续,在可导,则易见也在连续,在可导,且.故由罗尔定理知,存在,使得.而,故.P.136习题1．试问函数在区间[-1,1]上能否应用柯西

5、中值定理得到相应的结论，为什么？解因为，故当时，，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1,1]上不能用柯西中值定理。2．设函数在上可导，证明：存在，使得证明设，则在上连续并可导，且，由Rolle定理，存在，使得，从而3．设函数在点处具有连续的二阶导数。证明：证明因为在点处具有连续的二阶导数，所以在点的某邻域内具有一阶导数，于是由洛必达法则，分子分母分别对求导，有4．设。证明存在，使得证明设，，则都在连续，在可导，且都不等于0，。由柯西中值定理，存在，使得，即5．求下列不定式极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）解所以（8）解因为，所以（9）解

6、因为所以（10）（11）（12）所以P.145习题1．求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式（1）解，，，……，麦克劳林公式为：（2）到含有的项解因为，，所以。在此式的两端，用莱布尼兹公式，分别对求阶导数，得令得递推公式：因为有，于是，。又因为，，所以当为偶数时，从而（3）到含有的项解，，，，，2．按例4的方法求下列极限（1）（2）（3）3．求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：（1），在处；解；，；，；，；。所以（2），在处解；，；，。所以，P.150习题1．求下列函数的极值（1）解，令得稳定点。列表讨论：0+0+0－↗无极值↗极大值为↘（2）解，

7、令得稳定点。列表讨论：-11－0+0－↘极小值为-1↗极大值为1↘（3）解，令得稳定点。列表讨论：1－0+0－↘极小值为0↗极大值为↘（4）解，令得稳定点。由于，，所以在有极大值2．设（1）证明：是极小值点；（2）说明的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。证明（1）对任何，有，故是极小值点。（2）当时，有，作数列，，则，。即在的任何右邻域内，既有数列中的点，也有数列中的点。并且，，所以在内的符号是变化的，从而不满足极值的第一充分条件。又因为，，所以用极值的第二充分条件也不能确定的极值。3．证明：若函数在点处有（>0）（<0），则为的极大（

8、小）值点。证明设，，要证为的极大值点。因为，所以由极限的保号性，存在的空心右邻域