第六章 微分中值定理及其应用

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1、第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用§1拉格朗日中值定理和函数的单调性例1设函数EMBEDEquation.3内可导，在[a,b]上连续，且导函数EMBEDEquation.3严格递增，若EMBEDEquation.3证明，对一切EMBEDEquation.3均有EMBEDEquation.3证人用反证法，若EMBEDEquation.3在区间EMBEDEquation.3上分别应用拉格朗日中值定理，EMBEDEquation.3使得EMBEDEquation.3这与EMBEDEquation.

2、3为严格递增相矛盾。例2设函数EMBEDEquation.3在EMBEDEquation.3内可导，并且EMBEDEquation.3，试证：若当EMBEDEquation.3时，有EMBEDEquation.3则存在唯一的EMBEDEquation.3使得EMBEDEquation.3，又若把条件EMBEDEquation.3减弱为EMBEDEquation.3，所述结论是否成立？分析因为EMBEDEquation.3，若可以找到某点EMBEDEquation.3，使得EMBEDEquation.3则由EMB

3、EDEquation.3的严格递增性，并应用连续函数的介值定理便可证明存在唯一的EMBEDEquation.3，使得EMBEDEquation.3证EMBEDEquation.3在EMBEDEquation.3上应用拉格朗日中值定理，EMBEDEquation.3，使得EMBEDEquation.3于是EMBEDEquation.3由于EMBEDEquation.3，因此当x充分大时总可使得不妨设EMBEDEquation.3，所以EMBEDEquation.3上严格递增；在EMBEDEquation.3上应用

4、连续函数的介值定理，则EMBEDEquation.3,且EMBEDEquation.3是唯一的。假设EMBEDEquation.3满足EMBEDEquation.3，结论可能不成立，例如函数EMBEDEquation.3，满足EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3，但因EMBEDEquation.3恒小于0，故在EMBEDEquation.3中不存在EMBEDEquation.3，使得EMBEDEquation.3=0下面是对函数EMBEDEquation.3应用值中值定理的实例，因为函

5、数EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3在EMBEDEquation.3上满足拉朗日中值定理的条件，于是它存在EMBEDEquation.3。使得EMBEDEquation.3在上式中令EMBEDEquation.3，由EMBEDEquation.3可知EMBEDEquation.3因而EMBEDEquation.3，这看起来似乎与EMBEDEquation.3不存在相矛盾，试分析其原因。解首先应当注意：上面应用拉格朗日中值定理中的EMBEDEquation.3是个中值点，是由函数f和区间

6、[0,x]的端点而定的，具体说是与x有关。上面的推理过程到EMBEDEquation.3为止都是正确。当由此得到EMBEDEquation.3时，必须把EMBEDEquation.3看作是由x而确定的中值点才是正确的；但若把EMBEDEquation.3作为连续趋于零的变量得到EMBEDEquation.3，那是错误的。例4证明EMBEDEquation.3是x的严格递增函数，而EMBEDEquation.3是x严格递减函数。证设EMBEDEquation.3则有EMBEDEquation.3EMBEDEqua

7、tion.3=EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3，其中最后等式是对函数lny在区间EMBEDEquation.3上应用了拉格朗日中值定理，由此得到EMBEDEquation.3于是EMBEDEquation.3在R上严格递增，这样EMBEDEquation.3也是x严格递增函数，同理可证EMBEDEquation.3是x的严格递减函数。例5设EMBEDEquation.3定义在EMBEDEquation.3上，而且n阶可导。证明：若EMBEDEquat

8、ion.3，则EMBEDEquation.3，分析当n=1时，需证，若EMBEDEquation.3由解释解惑问题1中严格单调性判别法可知上述结论是对立的。对一般的n，可以从EMBEDEquation.3与EMBEDEquation.3，利用拉格朗日中值定理证得EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3，以此类推可以证得结论，下面例6就是它的应用。证EMBEDEqu