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时间:2017-12-24
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1、第六章微分中值定理及其应用目的与要求1.掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基础;2.熟练掌握洛比塔法则,会正确应用它求某些不定式的极限;3.掌握泰勒公式,并能应用它解决一些有关的问题;4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象;5.会求函数的最大值、最小值,了解牛顿切线法。重点与难点本章的重点是中值定理和泰勒公式,利用导数研究函数单调性、极值与凸性;难点是用辅助函数解决问题的方法。第一节拉格朗日定理和函数的单调性一 罗尔定理与拉格朗日定理数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的
2、性质,而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理,微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。1 回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 (Fermat) 设函数在点的某邻域内有定义,且在点可导,若点为的极值点,则必有.2罗尔中值定理:若函数满足如下条件:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导;6-1-38(3),则在内至少存在一点,使得.(分析)由条件(1)知在上有最大值和最小值,再由条件(2)及(3),应用费马定理便可得到结论。证明:因为在上连续,所以有最大值与最小值,分别用与表示.现分两种情况讨论:(1)若,则在上必为常数,从而结论显然成立。(2)若,则因,
3、使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得,从而是的极值点,由条件(ii)在点处可导,故由费马定理推知.注1罗尔定理的几何意义:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线。注2习惯上把结论中的称为中值,罗尔定理的三个条件是充分而非必要的,但缺少其中任何一个条件,定理的结论将不一定成立, 例如: 易见,在不连续,在不可导,,即罗尔定理的三个条件均不成立,但是在内存在点, 满足6-1-38注3罗尔定理结论中的值不一定唯一,可能有一个,几个甚至无限多个.例如:在上满足罗尔定理的条件,显然 在内存在无限多个使得。 3拉格朗日(Lagr
4、ange)中值定理:若函数满足如下条件:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导;则在内至少存在一点,使得 (分析)罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特殊情况,应用罗尔定理证明此定理要构造辅助函数,使得满足罗尔定理的条件(1)-(3) 且. 从而推得 证明:作辅助函数 显然,,且在上满足罗尔定理的另两个条件,故存在点6-1-38,使得即 .注1罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例注2拉格朗日中值定理的几何意义:在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线,我们在证明中引入的辅助函数,正是曲线与直线:之差,事实上,这个辅助函
5、数的引入相当于坐标系绕原点在平面内的旋转,使在新坐标系下,线段平行于新轴()。注3此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范;同时通过巧妙地数学变换,将一般化为特殊,将复杂问题化为简单问题的论证思想,也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注4拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式,它有几种常用的等价形式,可根据不同问题的特点,在不同场合灵活采用:注5拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关,并不彼此独立,因为:在开区间6-1-38可导可以推出在连续,但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉,改成“函数在可导且在右连续在左连续”这样,两个条件互相独立,但文
6、字累赘且不便记忆,因此一般不这样叙述。 4中值定理的简单应用例证明对一切成立不等式.证设,则当时,由可推得,从而有当时,由可推得,从而有于是对一切成立不等式.5拉格朗日中值定理的几个重要推论推论1 函数在区间上可导且,为上的常值函数.证明: 任取两点(设),在区间上应用拉格朗日中值定理,存在,使得这就证得在区间上任何两点之值相等,即为上的常值函数.6-1-38推论2 函数和在区间上可导且则其中为某一常数.推论3(导数极限定理)设函数在点的某邻域内连续,在内可导,且极限存在,则在点可导,且证明:分别按左右导数来证明上式成立(1) 任取,在上满足拉格朗日中值定理条件
7、,则存在,使得由于,因此当时随之有,对上式两边取极限,使得 即(2)同理可得因为存在,所以,从而即,也即.注1由推论3可知:在区间上的导函数在上的每一点,要么是连续点,要么是第二类间断点,不可能出现第一类间断点。注2导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。6-1-38例求分段函数的导数.解首先易得进一步考虑在处的导数.在此之前,我们只能依赖导数定义来处理,现在则可以利用导数极限定理来解决.由于因此在处连续,又因为所以,依导数极限定理可知在处可导,且.注若把在处改为即则在处仍连续.但是由于从而6-1-38从而在的导数不存在.但
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