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《第六章微分中值定理和其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第六章微分中值定理及其应用§1、拉格朗日定理和函数的单调性1、试讨论下列函数的指定区间内是否存在一点，使：(1)；(2).分析：验证是否满足罗尔罗尔中值定理的三个条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；(3)解：(1)因为在上连续，在内可导，且，所以由罗尔中值定理存在一点，使得.（2）虽然在上连续,但在内点不可导.可见,在上不满足罗尔中值定理的条件,因此未必存在一点,使得事实上,由于,所以不存在一点,使得.2、证明1)方程(这里为常数)在区间内不可能有两个不同的实根;(2)方程(为正整数,、
2、为实数)当为偶数时至多有两个实根；当为奇数时至多有三个实根.分析：作辅助函数，应用反证法和罗尔中值定理。证明：(1)记,用反证法.假设在内有两个不同的实根,那么,又因为在上连续,在内可导,所以由罗尔中值定于是知:存在一点,使得.但只有两个实根,因此不存在,使得.于是推出矛盾.(2)设,用反证法1)当为偶数时,假设至少有三个实根,不妨设,则由罗尔中值定理知:存在,使得,但由于幂函数在上严格递增,从而也存在上来格递增,而,所以,于是推出矛盾.2)当为奇数时,若,结论显然成立.若假设至少有四个实根,则由罗尔中值定理知,即至少有
3、三个实根,这与1)的结论矛盾.3、证明定理6.2推论2.证明:设,则因为的区间上可导,且,所以由定理6.2的推论1知:为上的一个常量函数,即(为某一定数),从而,在上有(为某一定数)4、证明(1)若函数在上可导,且则;(2)若函数在上可导,且则;(3)对任意实数,都有.分析：利用拉格朗日中值定理。因为函数在上可导，所以在上满足拉格朗日中值定理的条件。证明：(1)因为在上可导,所以由拉格朗日中值定理知:存在使得即(2)因为在上可导,所以由拉格朗日中值定理知:存在使得又,所以(3)当时结论显然成立,当时,对函数在以为端点的区
4、间上应用拉格朗日中值定理,得其中在与之间,因此5、应用拉格朗日中值定理证明不列不等式:(1)其中(2)其中.分析：（1）作辅助函数。（2）作辅助函数证明：(1)因为在上连续,在内可导,所以由拉格朗日中值定理,存在使得从而.(2)对函数在上应用拉格朗日中值定理知:存在使得从而6、确定下列函数的单调区间：（1）（2）分析：利用的符号来判断函数的增减性。解：（1）由于，故当时，当时，.所以在上递增.,在上递减.(2)由于故当时,iv时，.所以在上递减，在，上递增.(3)由于，的定义域为，故在上递增，在上递减.（4）由于，故在内
5、递增.7、应用函数的单调性证明下列不等式:(1)(2)(3).分析：作辅助函数，并利用函数的单调性来证明。证明：(1)设,则内严格递增.又在处连续且,故当时,即.(2)设,则令,则,故在内严格递减,又在处连续,且,故在内,即,所以当时,.从而在内严格递减.由于.所以,即.(3)设则,从而当时,严格递增.又在处连续,且,所以当时,.即.设.同理可证,当时,,即.综合上述结果可得,当时,有.8.以记由三点组成的三角形面积,试对应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.分析：把用行列式表示出来，判断在上满足罗尔中值定理的条件，然后
6、用行列式的求导法则。证明：易见，有因为在上满足罗尔中值定理的条件，所以存在使得。故.9、设为上二阶可导函数,,并存在一点使得.证明至少存在一点,使得.分析：两次利用拉格朗日中值定理。首先在、上利用拉格朗日中值定理，然后上利用拉格朗日中值定理。证明：由拉格朗日中值定理知因为,所以,从而.又由拉格朗日中值定理知:存在一点,使得,因此.10、设函数在内可导,且单调.证明在内连续.证明：不妨设在内单调递增,则对任一,必存在的某一邻域.因为在内单调递增有下界,在内单调递增有上界所以都存在.从而由拉格朗日中值定理的推论3,而故在内连
7、续.11、设为多项式,为的重实根.证明必定是的重实根.分析：利用代数学的基本定理证明。即,其中为多项式,且,证明：由题设,其中为多项式,且,从而又因,所以是的重实根.12、证明:设为阶可导函数,若方程有个相异的实根,则方程至少有一个实根.分析：因为存在阶导数，所以的前-1阶导数也存在，连续利用罗尔中值定理。证明：设的个相异实根为则由罗尔中值定理知:存在使得.再由罗尔中值定理至少存在:使得如此作到第步,则知至少存在一点,使得13、设.证明方程不存在正根.证明：用反证法.假设方程有一正根,又因在上连续,且存在,使得.但因此,
8、这与矛盾,故方程不存在正根.注：此题也可利用函数的单调性来证明。14、证明:证明：原式等价于,设,则故在内严格递增.又在处连续,且,所以.从而在内严格递增.又在处连续,且,所以.于是在内严格递增,且即15.证明:若函数在区间上可导,且证明：设函数上连续且严格单调递增，所以在
