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1、第四章 微分中值定理和导数的应用 4.1 微分中值定理 本节主要介绍微分学的几个中值定理，它们将可导函数在两点的函数值与这两点之间某一点的导数值联系在一起，揭示了函数的整体性质与局部性质之间的关系，从几何上讲，微分中值定理给出的是整体量（割线斜率）与局部量（切线斜率）之间的关系. 费马引理：设函数y=f（x）在的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或），则. 4.1.1 罗尔定理 罗尔（Rolle）定理：若函数f（x）满足条件： （1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内可导； （3）f（a）=f（b）
2、， 则在（a,b）内至少有一点，使得. 导数为等于零的点称为函数的驻点. 罗尔定理的几何意义是：如果AB是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直与x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么在曲线弧AB上至少存在一点C（），在该点处曲线的切线平行于x轴，如图4-1所示. 注意罗尔定理的三个条件是结论的充分条件，即如果缺少某一条件，结论就可能不成立，但是即使三个条件都不满足，结论中的仍可能存在，例如： （1）函数在区间[-2，2]上除不存在外，满足罗尔定理的其他条件，但在（-2,2）内找不到一点使得. （2）函数在区间[
3、0，1]上除了x=0处不连续外，满足罗尔定理的 其他条件，但在（0,1）内，因此在（0,1）内找不到一点使得. （3）函数在区间[0,1]上除外，满足罗尔定理的其他条件，但在（0,1）内，因此在（0,1）内找不到一点使得. 例1.验证函数在区间[-1,]上满足罗尔定理的条件，并求定理中的值. [答疑编号506426040101] 解：由于是（）内的初等函数，所以在区间[-1,]上连续，在区间（-1，）内可导，且. 又因为，所以f（x）在[-1,]上满足罗尔定理的条件. 令，解得，即，使. 例2.下列函数中，在区间[-1
4、,1]上满足罗尔定理条件的是（ ）. （A） （B） （C） （D） [答疑编号506426040102] 答案：B解析：在x=0处无定义，与中，. 例3.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件？如果满足，求出定理中的值 （1） （2） [答疑编号506426040103] 解：（1）显然y=ln（sinx）在上连续，在上有定义， 且所以满足罗尔定理， 令 （2）在x=0处无定义，所以不满足罗尔定理. 例4.判断函数的导数方程有几个不同实根. [答疑编号506426040104] 解：由于为多项式函数
5、，故在区间[]与[]上连续，在区间（）与（）内可导，且. 根据罗尔定理，在（）内至少存在一点，使得，即为的一个实根；在（）内至少存在一点为的一个实根. 又为一元二次方程，至多有两个实根，故方程有两个不同实根. 例5.不求导数，判断函数的导数有几个零点，并指出它们所在的区间. [答疑编号506426040105] 解：由于为多项式函数，故在区间上连续，在区间内可导，且. 根据罗尔定理：在内至少存在一点，使得在内至少存在一点，使得在内至少存在一点，使得 又为一元三次方程，至多有三个零点，故方程有三个不同实根，分别位于区间内,
6、 4.1.2 拉格朗日中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理：设函数f（x）满足条件： （1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内可导， 则在（a,b）内至少有一点，使得. 显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f（a）=f（b）时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广. 如图.割线AB的斜率为,点C处切线的斜率为，拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y=f（x）的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么在弧AB上至少有一点C（），该点处的切线平行于割线AB. 推论1：如
7、果函数f（x）在区间（a,b）内任意一点的导数都等于零，那么函数f（x）在（a，b）内是一个常数. 推论1：如果函数f（x）在（a，b）内每一点的导数与都相等，则这两个函数在区间（a，b）内至多相差一个常数，即，这里C是一个确定的常数. 例6.验证函数在区间[-1,0]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求定理中的值. [答疑编号506426040106] 解：显然在[-1,0]上连续，在内有定义，即在内可导，故在区间上满足拉格朗日中值定理的条件， 根据拉格朗日中值定理，得 ， 所以. 例7.下列函数在给定区间上是否满足拉
8、格朗日中值定理的条件？如果满足，求出定理中的值. （1） （2） [答疑编号506426040107] 解：（1）显然在[0,2]上连续，在（0,2）上有定义，所以满足拉格朗日中值定理，即 所以 （2）在x=1处无定义，所以
