微分中值定理和导数的应用.doc

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1、第五讲微分中值定理和导数的应用【大纲要求】1.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式，了解柯西中值定理。2.掌握用洛必达法则求极限的方法。3.掌握函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。4.会用导数判断函数的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、垂直和斜渐近线，会描绘函数的图形。5.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。48认识自我，准确定位，重新设计你的人生【考试内容要点精讲】1.微分中值定理①费马引理设函数在可导，并且存在的一个邻域，使

2、得在这邻域内恒有(或)，则。简单地说：可导的极值点是驻点。(导数为零的点称为驻点)费马引理的几何意义在于：如果函数有极值点，且相应的曲线在有切线，但不垂直于轴，则该切线必平行于轴。如下图1：②罗尔中值定理设函数在上连续，在开区间内可导，且，则存在，使得。罗尔中值定理的几何意义在于：如果连续曲线在与之间的任何一点都有切线，但均不垂直于轴，且与的纵坐标相同，则曲线在之间存在一点，曲线过的切线是水平的。如下图2：③拉格朗日中值定理设函数在上连续，在开区间内可导，则存在，使得48认识自我，准确定位，重新设计你的人生。当，就是罗

3、尔中值定理了。因此，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。拉格朗日中值定理的几何意义在于：如果连续曲线在与之间的任何一点都有切线，但均不垂直于轴，则曲线上存在一点，曲线过的切线平行于弦。如下图3：④柯西中值定理设函数在上连续，在开区间内可导，且在上恒有，则存在，使得。当取时，就是拉格朗日中值定理了。因此，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例。④泰勒公式设函数在的一个邻域内有直到阶的导数，则在和之间存在一个，使得其中，称为的拉格朗日余项。由于在和之间，因此，又可以写成。也可以写成，称为皮亚偌余项。48认识自我，准确定位，

4、重新设计你的人生当，泰勒公式又称为迈克劳林公式。给出常见函数的高阶导数，也就给出了常见函数的泰勒公式。常见函数的高阶导数公式如下：，特别地，常见函数的高阶导数公式如下：①特别地，②，48认识自我，准确定位，重新设计你的人生，(展开到了阶)③，，(展开到阶)④，，48认识自我，准确定位，重新设计你的人生⑤2.函数的单调性①定义若对于区间上的任意，只要，就有，则称函数在上单调不减。进一步，只要，就有，则称函数在上单调递增。若对于区间上的任意，只要，就有，则称函数在上单调不增。进一步，只要，就有，则称函数在上单调递减。②判定

5、设函数在区间内可导，且满足()，则函数在上单调递增(单调递减)。备注1：一般来说，在区间内并不一定都能满足()，例如，取，则，。但事实上，根据定义，我们容易证明是单调递增的。这说明有限个点导数为零并不影响其单调性。事实上，有如下结论：设在区间内可导，则在上单调递增(减)的充分必要条件是在区间内，总有()，但不存在的子区间，使得在内，恒有。48认识自我，准确定位，重新设计你的人生这里简要叙述下其道理。只说明单调递增的情形。(单调递减同理)先看必要性。由单调递增，以及导数定义，容易知道。如果存在的子区间，使得在内，恒有。任

6、取，，由拉格朗日中值定理，存在，使得，这与在中单调递增矛盾。必要性成立。再看充分性，由区间内任意点满足可知至少是单调不减的。要进一步说明其单调递增，可假设存在，，但。于是，，。这样，，。这与假设矛盾。例如，利用这个结论，我们就易说明函数在上单调递增了。(，且当且仅当，)3.函数的凹凸性①定义假设函数在区间上连续，并且对区间内任何两不同点和，总成立则称为区间上的凹函数。如果对区间上不同的和，总有则称为区间上的凸函数。48认识自我，准确定位，重新设计你的人生根据定义，在凹函数的图象上任意取两不同点，，弦的中点总是在弧对应点

7、的上方。在凸函数的图象上任意取两不同点，，弦的中点总是在弧对应点的下方。如下图4：备注2：由于规定了函数的连续性，因此，函数的凹凸性有另外一个等价的定义：(具体的原因这里不给出说明)假设函数在上连续。如果对于上任意不同的点，以及，总有则称为上的凹函数。如果对于上任意不同的点以及，总有则称为上的凸函数。它有非常鲜明的几何意义。凹函数：在曲线上任意取不同的两点，，则之间的曲线弧总在弦的下方。凸函数：在曲线上任取不同的两点，，则之间的曲线弧总在弦的上方。如下图5：48认识自我，准确定位，重新设计你的人生②判定曲线的凹凸性的判

8、别法有多个。具体地如下：(a)设函数在区间内可导。则为上的凹(凸)函数当且仅当于内单调递增(减)。它有非常明显的几何意义。那就是凹(凸)函数的图象的切线斜率越来越大(小)。如下图6：(b)设函数在区间内可导。则为上的凹(凸)函数当且仅当对区间内任意点，只要，总有()也就是：()，。这也有非常明确的几何意义。也就是凹(凸)函数的图象