次函数第4讲二次函数与其它代数综合教师版

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1、第四讲二次函数与其它代数综合中考要求内容基本要求略高要求较高要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；知识点睛一、二次函数与一次函数的联系一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①

2、方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.二、二次函数与方程、不等式的联系1.二次函数与一元二次方程的联系：1.直线与抛物线的交点:（1）轴与抛物线得交点为(0,).（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

3、2010年·暑假·短期班二次函数·第4讲·教师版page20of20③没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故2.二次函数常用解题方法⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二

4、次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴

5、无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.3.二次函数与一元二次方程之根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与轴的交点问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．设的二实根为，，，，且是预先给定的两个实数．⑴当两根都在区间内，方程系数所满足的充要条件：∵，对应的二次函数的图象有下列两种情形：2010年·暑假·短期班二次函数·第4讲·教师版page20of20当时的充要条件是：

6、，，，．当时的充要条件是：，，，．两种情形合并后的充要条件是：……①⑵当两根中有且仅有一根在区间内，方程系数所满足的充要条件；∵或，对应的函数的图象有下列四种情形：从四种情形得充要条件是：……②⑶当两根都不在区间内方程系数所满足的充要条件：当两根分别在区间的两旁时；∵对应的函数的图象有下列两种情形：当时的充要条件是：，．当时充要条件是：，．两种情形合并后的充要条件是：，……③当两根分别在区间之外的同侧时：∵或，对应函数的图象有下列四种情形：2010年·暑假·短期班二次函数·第4讲·教师版page2

7、0of20当时的充要条件是：，，……④当时的充要条件是：，，……⑤4区间根定理如果在区间上有，则至少存在一个，使得．此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．重、难点重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．例题精讲板块一二次函数与一次函数的综合2010年·暑假·短期班二次函数·第4讲·教师版page20of20【例

8、1】（09湖北省荆门市）函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）【解析】本题考查函数图象与性质，当时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函数与的图象必过（0，1），所以C是正确的，故选C．【巩固】（09年嘉兴市）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（　）【解析】考察系数与函数图像的关系。A选项：一次函数，二次函数；B选项：一次函数，二次函数；C选项：一次函数，二次函数；D选项：一次函数，二次函数.【解析】所以选C【例2】（08泰州市）