浅析条件概率

《浅析条件概率》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、浅析条件概率摘要：条件概率是概率论基础知识中的一个基本概念，是积事件概率和全概率公式的基础，但这一概念往往不被学生所重视，以至于影响到后面的教学效果。本文就这一概念教学进行了初步研宄，并给出条件概率P(A/B)中，当P(B)=0时的一些有趣结论，旨在开阔学生的视野。关键词：条件概率；概率；随机试验；事件；抽签在多年的概率论教学过程中，笔者感觉到学生难以清楚地理解条件概率、积事件概率、全概率公式等概念，特别是在求解有关问题时，往往无处着手，出现思维障碍，从而影响了学生的学习积极性。究其原因，基本上是对条件概率概念没有很好地理解;在教学过程中，教师也没

2、有引起重视，一笔带过，而把重点放在全概率公式上，学生处于被动的学习状态。笔者拟就这一问题的教学作如下研究。首先，有必要弄清楚P(A/B),P(AB),P(A)这三者之间的区别与联系。一是条件概率P(A/B)与概率P(A)的区别。每一个随机试验都是在一定条件下进行的。设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在一定条件下事件A发生的可能性的大小。而条件概率P(A/B)是指在原条件下又添加“事件B发生”这个条件时，事件A发生的可能性大小，即P(A/B)仍是概率，P(A)与P(A/B)的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概率，在数值上一般也不相等。

3、(注：“事件B发生”特指读者已经知道事件B发生，而实际上事件B往往在事件A发生之前发生，但也可以在事件A发生之后发生，如例1中求P(A1/A2A3)，只是读者还不知道事件A己发生，用P(A/B)来估计事件A发生可能性的大小。例1:5个签中的2个是“有”，3个是“无”，无放回地顺次抽取，每人抽一个，用Ai表示第i个人抽到“有”这一事件，则P(A2)===，P(A2/A1)=。二是条件概率P(A/B)与概率P(A)的数量关系。条件概率P(A/B)是在原随机试验条件下又添加“事件B发生”这个条件时事件A发生的可能性大小，是否一定有P(A/B)彡P(A)呢

4、？1.当A、B互不相容时，A发生时B不发生，则P(A/B)=0彡P(A)；2.当A?奂B时，P(AB)=P(A),P(A/B)==^P(A)；3.当A、B既不是互不相容，又不是包含关系时，因P(A/B)=，大于、等于、小于P(A)三种可能都有，如P(A)=P(B)=，当P(AB)=时，P(A/B)=〉P(A);当P(AB):时，P(A/B)==P(A):当P(AB)=时，P(A/B)=三是条件概率P(A/B)与积事件的概率P(AB)的区别。这两个概念从形式上看是容易区分的，但对于初学者来说很容易混淆，有必要强调一下。条件概率P(A/B)是指事件B发

5、生这个条件下事件A发生的概率，而P(AB)是指A、B同时发生的概率。因而“事件B发生”在P(A/B)中是作为条件，而P(AB)中是作为结果，所以两者不相同。例2:某班有男学生40人，女学生20人，通过英语六级者有15人，其中有女学生10人。在该班级中任意抽取一人，分别计算：1.求所取的学生为女学生并且已通过英语六级的概率;2.己知所取的学生为女学生，求其通过英语六级的概率。解：设A=｛所取的学生已通过英语六级｝，B=｛女学生｝，则(1)为求事件A、B的积事件的概率P(AB)==；(2)为求在事件B发生条件下事件A发生的条件概率P(A/B)==o其次

6、，要深刻理解当P(B)>0时，条件概率公式P(A/B)=的意义。一是要从理论上推出该公式非常困难，但从事件A、B的文氏图可直观地解释一下该公式，把P(A)看成为A的面积与必然事件Q的面积的比值，那么，P(A/B)为在B发生条件下A发生的概率，可理解为AB的面积与B的面积的比值，分别除以Q面积，即得条件概率公式P(A/B)=，可以让学生从心理上接受它并加深印象，而公式本身已证明是成立的，只要加以说明就行，这样可起到降低难度的作用。公式给出了计算条件概率的一种方法。例3:某种品牌的彩色电视机使用寿命10年的概率为，而使用寿命15年的概率为，试求某台电视

7、机已经使用10年的情况下，能再使用5年的概率。解:设B=•［电视机使用寿命10年｝，A=｛电视机使用寿命15年｝，则P(A)=，P(B)=因为A发生必然导致B发生，即B?劢A，P(AB)=P(A)=，P(A/B)二是该公式的作用不仅仅用来计算条件概率，而且条件概率往往也可以直接算得，更重要的作用是用来计算积事件AB的概率，P(AB)=P(B)P(A/B)这就是我们所说的乘法公式。例4:在例1中，计算P(A1A2)=P(Al)P(A2/A1)=X=,P(A2)=P(A1A2+A1A2)=P(Al)P(A2/A1)+P(Al)P(A2/A1)=X+X=

8、,同理可得P(A3)=P(A4)=P(A5)=，这道题目的解答也说明了这样一个问题：无放回抽签不分先后，各个人抽到好签的可