解析几何存在性题型1

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1、解析几何存在性题型1.已知A，B，C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心0MACBC=O,

2、BC

3、=2

4、AC

5、,(1)求椭圆的方程；(2)如果椭圆上的两点P，Q使21>(3(5的平分线垂直于0A，是否总存在实数人，使得PQ=XAB?请说明理由；2.设G、M分别是AABC的重心和外心，A^_a),B(O，a)(a〉O),HGM=XABt(1)求点C的轨迹方程；(2〉是否存在直线m，使m过点并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且OP’0Q=0?若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.3.己知定点A(—2,—4),过点作倾斜角为45°的直线/，交抛物线y2=

6、2px(p〉0)〒B、C两点，且(I)求抛物线的方程；(II)在(I)中的抛物线上是否存在点D,使得

7、DB

8、=

9、DC

10、成立？如果存在，求山点D的坐标：如果不存在，请说明理由.4.己知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(l,2),它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点.(I)求这三条曲线的方程；(II)己知动直线/过点P(3,0)，交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于x轴的直线f被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出/'的方程；若不存在，说明理由.5.椭圆C:F2,短轴两端点B,、B2，已知F2、.32叫点共圆，且点N(0，3)到椭圆上的点最远

11、距离为5#.(I)求此吋椭圆C的方程；(II)设斜率为k(k邦)的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P(0,辱)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由.6.己知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(l，2)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点.(I)求这三条曲线的方程；(II)己知动直线1过点P(3,0)，交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于x轴的直线1被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出1的方程；若不存在，说明理由.7.已知定点A(—2，-4),过点A作倾斜角为45的直线1

12、，交抛物线y2=2px(p〉0)〒B、C两点，且

13、BC

14、=210.(I)求抛物线的方程；(II)在(I)屮的抛物线上是否存在点D,使得

15、DB

16、=

17、DC

18、成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由8.抛物线Z=2ay的准线的方程为^=一2,该抛物线上的每个点到准线;v=_2的距离都与到定点yV的距离相等，圆.V是以，V为圆心，同时与直线71:和A：7=—％相切的圆，(1)求定点/V的坐标；(2)是否存在一条直线7同时满足下列条件：①7分别与直线人和A交于AA两点，且中点为/f(4,1);②7被圆TV截得的弦长为2.解析几何存在性题型参考答案1.解答过程：(1)以0为原点，0A

19、所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则7^2，％,设椭圆方程为，不妨设C在X轴上方，由椭圆的对称性，

20、BC

21、=21AC

22、=21OC

23、=>

24、AC

25、=

26、0C

27、又AC.BC=OiAC丄0C,即AOCA为等腰直角三角形，由M2,…得：COJ),代入醐方程得:b2=即，椭圆方程为44(2)假设总存在实数入，使得PQ=XAB,KPAB11pQ由C(l，l)得B(_l，_l)，则^AB=0-(-1)_12-(-1)=3若设CP:y=k(x-l)+l，则CQ:y=-k(x-l)+l，r+2y：=i44=>(1+3k2)x2-6k(k-l)x+3k2-6k-1=0y=k(x—1)+1由c(l，l)得x=1

28、是方程(l+3k2)x2-6k(k-l)x+3k2-6k-1=0的一个根巾韦达定理得:xp=xp.13k2-6k-ll+3k2XQ=3k2+6k-ll+3kkpQ故yP-yQ_k(xp+xQ)-2k_lXp-xQXp-xQ3故AB//PQ即总存在实数X,使得PQ=ZAB评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.2.解答过程：(1)设C

29、为7=1<&一3*y=k(x-a).99’x一y一由^+F=1(X#0)W.；(l+3k2)x2+6k2ax+3a2(k2-l)=06k2a_3a2(k2-l)设PO^yJQO^yJ，则X,+X2=i+3k2，=l+3k2-2k2a2y丨y2=k2(x,-a)(x2-a)=k2[x,x2-a(x,+x2)+a2]=i+3k2，OPOQ=0得:xix2+yiy2=°,3a2(k2-l),-2k2a2A1=u厂即l+3k2l+3k2，解之得*<=