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1、解析几何常规题型及方法1、常规题型与方法：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x,y)，(x,y)，代入方程，然后1122两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。22y典型例题给定双曲线x-=1。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P及P，求线段PP的中点P12122的轨迹方程。222y12y2分析：设Px1(1,y1)，Px2(2,y2)代入方程得x1-=1，x2-=1。22两式相减得1(x+x)(x-x)-(y+y)(y-y)=0。12121212
2、2又设中点P（x,y），将x+x=2x，y+y=2y代入，当x¹x时得1212122yy-y122x-·=0。2x-x12y1-y2y-1又k==，x-xx-21222代入得2x-y-4x+y=0。当弦PP斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。1222因此所求轨迹方程是2x-y-4x+y=0说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。变式练习：22给定双曲线2x-y=2，过点B(1,1)能否作直线L,使L与所给双曲线交于两点Q1、Q2两点，且点B是线段Q1Q2的中点？如果直
3、线L存在，求出它的方程;如果不存在,说明理由.（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F、F构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。1222xy典型例题设P(x,y)为椭圆+=1上任一点，F(-c,)0，Fc(,)0为焦点，ÐPFF=a，ÐPFF=b。22121221absin(a+b)（1）求证离心率e=；sina+sinb33（2）求
4、PF
5、+PF
6、的最值。12r1r22c分析：（1）设
7、PF
8、=r，
9、PF=r，由正弦定理得==。1122sinasinbsin(a+b)r+r2c12得=，s
10、ina+sinbsin(a+b)csin(a+b)e==asina+sinb33322（2）(a+ex)+(a-ex)=2a+6aex。3当x=0时，最小值是2a；323当x=±a时，最大值是2a+6ea。变式练习：22xy2q设F、F分别是双曲线-=1（a>0,b>0）的左、右两个焦点，P是双曲线上的一点，若∠P=θ,求证：S△=bcot1222ab2（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法2典型例题抛物线方
11、程y=px(+1)(p>0)，直线x+y=t与x轴的交点在抛物线准线的右边。（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。p（1）证明：抛物线的准线为1：x=--14p由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得t>--1，而4t+p+4>04ìx+y=t22由í消去得yx-(2t+px)+(t-p)=02îy=px(+1)22QD=(2t+p)-4(t-p)=p(4t+p+4)>0故直线与抛物线总有两个交点。（2）解：设
12、点A(x1，y1)，点B(x2，y2)2x1+x2=2t+p，xx12=t-pQOA^OB，kOA´kOB=-1则xx12+yy12=0又yy12=(t-x1)(t-x2)2xx12+yy12=t-(t+2)p=02tp=ft()=t+2又p>0，4t+p+4>0得函数ft()的定义域是(-2，0)È(0，+¥)变式练习：22直线y=ax+1与双曲线3x－y=1交于两点A、B两点(1)若A、B都位于双曲线的左支上，求a的取值范围(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？（4）圆锥曲线的有关最
13、值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。典型例题2已知抛物线y=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，
14、AB
15、≤2p（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1）
16、，可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。2解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a代入抛物线方程y=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A2ì4(a+p)-4a>0ï（x1,y1）,B(x2
