高考数学必考题型解析几何 (1)

《高考数学必考题型解析几何 (1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第36练　直线与圆锥曲线问题题型一　直线和椭圆的位置关系例1　如图所示,椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为,x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的短轴长、C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于点D,E.(1)求C1,C2的方程；(2)求证：MA⊥MB；(3)记△MAB,△MDE的面积分别为S1,S2,若＝λ,求λ的取值范围、破题切入点　(1)利用待定系数法求解曲线C1,C2的方程、(2)设出直线AB和曲线C2联立,利用坐标形式的

2、向量证明、(3)将S1和S2分别表示出来,利用基本不等式求最值、(1)解　由题意,知＝,所以a2＝2b2.又2＝2b,得b＝1.所以曲线C2的方程：y＝x2－1,椭圆C1的方程：＋y2＝1.(2)证明　设直线AB：y＝kx,A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知M(0,－1)、则⇒x2－kx－1＝0,·＝(x1,y1＋1)·(x2,y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－(1＋k2)＋k2＋1＝0,所以MA⊥MB.(3)解　设直线MA的方程：y＝k1x－1,直线MB的方程：y

3、＝k2x－1,由(2)知k1k2＝－1,M(0,－1),由解得或所以A(k1,k－1)、同理,可得B(k2,k－1)、故S1＝

4、MA

5、·

6、MB

7、＝·

8、k1

9、

10、k2

11、.由解得或所以D(,)、同理,可得E(,)、故S2＝

12、MD

13、·

14、ME

15、＝·,＝λ＝＝≥,则λ的取值范围是[,＋∞)、题型二　直线和双曲线的位置关系例2　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值、破题切入

16、点　(1)联立方程组,利用Δ>0求出k的取值范围、(2)联立方程用根与系数的关系求解、解　(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组有两个不同的实数根,整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∴解得－

17、x1

18、>

19、x2

20、时

21、,S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(

22、x1

23、－

24、x2

25、)＝

26、x1－x2

27、；当A,B在双曲线的两支上且x1>x2时,S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(

28、x1

29、＋

30、x2

31、)＝

32、x1－x2

33、.∴S△OAB＝

34、x1－x2

35、＝,∴(x1－x2)2＝(2)2,即()2＋＝8,解得k＝0或k＝±.又∵－0,b>0)的上焦点为F,上顶点为A,B为虚轴的端点,离心率e＝,且S△ABF＝1－.

36、抛物线N的顶点在坐标原点,焦点为F.(1)求双曲线M和抛物线N的方程；(2)设动直线l与抛物线N相切于点P,与抛物线的准线相交于点Q,则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果是,试求出该点的坐标,如果不是,请说明理由、破题切入点　(1)根据双曲线的性质,用a,c表示已知条件,建立方程组即可求解双曲线的方程,然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程、(2)设出点P的坐标,根据导数的几何意义求出切线方程,并求出点Q的坐标,然后根据圆的性质列出关于点P的坐标的方程,将问题转化为方程恒成立的问题来解决、解

37、　(1)在双曲线中,c＝,由e＝,得＝,解得a＝b,故c＝2b.所以S△ABF＝(c－a)×b＝(2b－b)×b＝1－,解得b＝1.所以a＝,c＝2,其上焦点为F(0,2)、所以双曲线M的方程为－x2＝1,抛物线N的方程为x2＝8y.(2)由(1)知抛物线N的方程为y＝x2,故y′＝x,抛物线的准线为y＝－2.设P(x0,y0),则x0≠0,y0＝x,且直线l的方程为y－x＝x0(x－x0),即y＝x0x－x.由得所以Q(,－2)、假设存在点R(0,y1),使得以PQ为直径的圆恒过该点,也就是·＝0对

38、于满足y0＝x(x0≠0)的x0,y0恒成立、由于＝(x0,y0－y1),＝(,－2－y1),由·＝0,得x0·＋(y0－y1)(－2－y1)＝0,整理得－2y0－y0y1＋2y1＋y＝0,即(y＋2y1－8)＋(2－y1)y0＝0,(*)由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的x0,y0恒成立,所以解得y1＝2.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点,定点坐标为(0,2)、总结提高　直线和圆锥曲线的位置关系问题,万变不离其宗,构建属于自己的解题模板,形成一