高考数学必考题型解析几何 (3)

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1、第31练　直线和圆的位置关系题型一　直线和圆的位置关系的判断问题例1　已知圆C：x2＋y2－4x＝0,l是过点P(3,0)的直线,则(　　)A、l与C相交B、l与C相切C、l与C相离D、以上三个选项均有可能破题切入点　由于不知道直线l的方程,于是需要求P点与圆C的位置关系、答案　A解析　将点P(3,0)的坐标代入圆的方程,得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0,∴点P(3,0)在圆内、∴过点P的直线l一定与圆C相交、题型二　弦长问题例2　若圆上一点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上,且圆与直

2、线x－y＋1＝0相交的弦长为2,则圆的方程是__________________、破题切入点　将已知条件转化为直线x＋2y＝0过圆心,弦长可通过几何法表示、答案　(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244解析　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2,点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上,说明圆心在直线x＋2y＝0上,即有a＋2b＝0,又(2－a)2＋(3－b)2＝r2,而圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2,故r2－2＝2,依据上述方程,解得或所以,所求圆的方

3、程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.题型三　直线和圆的综合性问题例3　如图所示,已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切,过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当＝2时,求直线l的方程；(3)B·B是否为定值？如果是,求出其定值；如果不是,请说明理由、破题切入点　(1)由圆A与直线l1相切易求出圆的半径,进而求出圆A的方程、(2)注意直线l的斜率不存在时也符合题意,

4、以防漏解,另外应注意利用几何法,以减小计算量、(3)分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论、解　(1)设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切,∴R＝＝2.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时,易知x＝－2符合题意；当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y＝k(x＋2),即kx－y＋2k＝0.连接AQ,则AQ⊥MN.∵＝2,∴

5、AQ

6、＝＝1.由＝＝1,得k＝.∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6

7、＝0.(3)∵AQ⊥BP,∴A·B＝0.∴B·B＝(B＋A)·B＝B·B＋A·B＝B·B.当直线l与x轴垂直时,得P.则B＝,又B＝(1,2),∴B·B＝B·B＝－5.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y＝k(x＋2)、由解得P.∴B＝.∴B·B＝B·B＝－＝－5.综上所述,B·B是定值,且B·B＝－5.总结提高　(1)直线和圆的位置关系一般有两种判断方法：一是将直线和圆的方程联立,利用判别式的符号求解根的个数,即为直线和圆的交点个数；二是将圆心到直线的距离d和半径r相比较,当d>r时相离,d＝r时相切

8、,d

9、x1－x2

10、；三是利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求、对于圆中的弦长问题,一般利用第三种方法较为简单、1、直线(1＋3m)x＋(3－2m)y＋8m－12＝0(m∈R)与圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0的交点个数为(　　)A、1B、2C、0或2D、1或2答案　B解析　

11、将含参直线方程分离变量可得m(3x－2y＋8)＋x＋3y－12＝0,不论m取何值,直线恒过两直线的交点A(0,4),又易知定点A在圆内,故直线必与圆恒相交,故选B.2、(2014·浙江)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4,则实数a的值为(　　)A、－2B、－4C、－6D、－8答案　B解析　由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得,圆心为(－1,1),半径r＝.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝.由r2＝d2＋()2,得2－a＝2＋4,所以a＝－4.3、(2014

12、·北京)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB＝90°,则m的最大值为(　　)A、7B、6C、5D、4答案　B解析　根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心C的坐标为(3,4),半径r＝1,且

13、AB

14、＝2m.因为∠APB＝90°,连接OP,易知

15、OP

16、＝

17、AB

18、＝m.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离、因为

19、OC

20、＝＝5,