压轴题型突破练——解析几何

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1、压轴题型突破练——解析几何A组　专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．已知两条直线l1：y＝x，l2：ax－y＝0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是__________．答案　∪(1，)解析　直线l1的倾斜角为，依题意l2的倾斜角的取值范围为∪，即∪，从而l2的斜率a的取值范围为∪(1，)．2．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是__________.答案　(－∞，0)∪(1

2、0，＋∞)解析　将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心坐标为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d＝＝>1，∴m<0或m>10.3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若PF＝5，则双曲线的渐近线方程为____________．答案　y＝±x解析　设点P(x0，y0)．依题意得，焦点F(2,0)，于是有x0＝3，y＝24；由此解得a2＝1，b2＝3，因此

3、该双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x.4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．答案　解析　记抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于＝.

4、5．如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是________．答案　(1，＋∞)解析　将原方程化成标准方程为－＝1.由题意知k－1>0且k－2>0，解得k>2.又a2＝k－1，b2＝k－2，所以c2＝a2＋b2＝2k－3>1，所以c>1，故半焦距c的取值范围是(1，＋∞)．6．若点(3,1)是抛物线y2＝2px一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.答案　2解析　设弦两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则，两式相减得，＝＝2.又∵y1

5、＋y2＝2，∴p＝2.7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是________．答案　2解析　由抛物线定义得以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值．设以AB为直径的圆的半径为r，则AB＝2r≥4，r≥2，且圆心到x轴的距离是r－1，所以在x轴上所截得的弦长为2＝2≥2，即弦长的最小值是2.二、解答题(共27分)8．(13分)已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴

6、顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点A，B，且＝2.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围．解　(1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，即消去y，得(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ

7、＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，由根与系数的关系，知又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，所以－x1＝2x2.则所以＝－22.整理，得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时等式不成立，所以k2＝>0，得0.所以m的取值范围为∪.9．(14分)已知中心在原点的椭圆C：＋＝1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点，△MOF1的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交

8、于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解　(1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，所以c＝3，b2＝a2＋9，则椭圆C的方程为＋＝1，因为x>0，所以S△OMF1＝×3×x＝，解得x＝1.故点M的坐标为(1,4)．因为点M(1,4)在椭圆上，所以＋＝1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，则b2＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，