微分方程零解的稳定性

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1、.微分方程零解的稳定性中文摘要本文利用线性近似稳定性方法及李雅普诺夫第二方法，分别讨论了几类微分方程（组）的零解的稳定性。由于构造合适的李雅普诺夫第二函数，即V函数是李雅普诺夫第二方法的关键，因此我们介绍了一类构造V函数的特殊方法，即微分矩法，并将所得的结果应用于具体实例。关键词：微分方程；稳定性；线性近似稳定性方法；李雅普诺夫第二方法；微分矩法-..AbstractUtilizingmethodsoflinearizationandLyapunovsecondmethod,thestabilitiesofsolutionsforsomekin

2、dsofordinarydifferentialequationsareanalyzedinthispaper.BecauseconstructingVfunctionsisthekeyofLyapunovsecondmethod,weintroduceaspecialmethod,thatisdifferentialmomentmethod,todealwiththisproblem,andwetakeitasanapproachtosolvethestabilitiesofsolutionsforsomedifferentialequati

3、ons.Keywords:Differentialequations;Stability;Methodsoflinearization;Lyapunovsecondmethod;Differentialmomentmethod.-..目录第一章前言1第二章相关引理2第三章几类微分方程零解的稳定性分析5§3.1按线性近似决定微分方程组零解的稳定性5§3.2函数法7§3.3微分矩法构造V函数9第四章总结13参考文献14致谢15-..第一章前言众所周知，Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。1892年，伟大的俄国数学力学家亚

4、历山大·米哈依诺维奇·李雅普诺夫(A.M.Lyapunov)(1857-1918)，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。线性近似稳定性方法是一种十分重要而且广泛使用的线性化方法，它是通过分析非线性系统的线性近似系统的特征值分布来判别原非线性系统的稳定性的方法。运用线性近似稳定性方法在第三章中分析如下这样一类非线性微分方程：其中是上式微分方程的解。然而，线性系统与非线性系统具有根本的区别，因此一般说来，关于线性化系统

5、的解及有关结论是不能随意推广到原来的非线性系统，是有条件的。所以有了更加直接有效的方法，这就是本文中所介绍的Lyapunov第二方法。Lyapunov第二法是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外，它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题。虽然通过构造函数，我们可以利用Lyapunov第二方法判断微分方程的解的稳定性，但如何构造特定性质的函数则是一个有趣而复杂的问题。且在具体确定许多非线性系统的稳定性时,技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。本文所介绍的微分矩法也是比较有效的可以解

6、决此类函数的稳定性问题，并且运用它处理如下一类微分方程的零解的稳定性。-..第二章相关引理为了分析微分方程组零解的稳定性,引入如下定义。定义1如果对任何给定的，存在（一般与和有关），使当任一满足时，方程组(2.1)由初始条件确定的解均有,对一切,则称方程组(2.1)的零解为稳定的;如果的零解稳定，且存在这样的，使当时,满足初始条件的解均有，则称零解为渐近稳定的。定义2设有驻定方程组，称同时满足的点为方程组的奇点。对于n阶非线性微分方程组(2.2)其中。显然是方程组（2.2）的解。若方程组(2.2)满足条件（当时），则称线性方程(2.3)为方程组

7、(2.2)的线性近似方程组。线性近似方程组(2.3)的系数矩阵A的特征方程为-..。（2.4）众所周知，线性(化)系统与非线性系统具有根本的区别，因此一般说来，关于线性化系统的解及有关结论是不能随意推广到原来的非线性系统。但是，如果把问题的范围缩小，只考虑的稳定性问题，即考察在什么条件下可用线性近似系统的稳定性来分析非线性系统的解的稳定性。为此，我们给出如下线性近似稳定性定理。定理1若特征方程（2.4）没有零根或零实部的根，则非线性方程组（2.2）的零解的稳定性与其线性近似方程组（2.3）的零解的稳定性是一致的。具体地说，若特征方程（2.4）的

8、根均具有负实部，则方程组(2.2)的零解是渐稳近稳定的；若特征方程（2.4）的具有正实部的根，则方程组的零解是不稳定的。关于特征方程（2.4）的特征值