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1、常微分方程解的稳定性摘要本文简要介绍了常微分方程解的稳定性理论的相关概念及其在解决微分方程相关问题的重要意义。最后，介绍用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。 关键字：常微分方程稳定性李雅普诺夫函数V函数构造方法引言常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引入几何方法,开创了常微分方程定性理论,同时在分析中引入几何方法,搭建起分析与几何之间的沟通桥梁,带来了微分方程研究的新突破。李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上,转而进
2、入了新的稳定性研究。如今,李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。不仅有精确的定义,更有严格的分析证明,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。本文论述常微分方程解的稳定性的定义及其研究常微分方程相关问题的重要思想，并用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。1、常微分方程稳定性微分方程自诞生以来就一直以微分方程解的求法为研究中心。数学家在微分方程求解过程中进行了不懈的努力,但始终没有从根本上摆脱求确定解的桎梏,致使研究的道路越
3、来越窄。此时单纯的定量分析已不能解决问题,必须用一种综合化、整体化的思想加以考虑.避开微分方程求精确解的定量方法,转向运用稳定性方法探求解的性质,从而解决常微分方程（组）的解的问题.考虑微分方程组（2.1）其中函数对和连续，对满足局部利普希茨条件。设方程（2.1）对初值存在唯一解,而其他解记作.本文中向量的范数取.如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生的李雅普诺夫意义下的稳定性概念。如果对于任意给定的和都存在,
4、使得只要就有对一切成立，则称（2.1）的解是稳定的，否则是不稳定的。假设是稳定的，而且存在，使得只要就有则称（2.1）的解是渐近稳定的。为了简化讨论，通常把解的稳定性化成零解的稳定性问题。下面记,作如下变量代换：令(2.2)则于是在变换（2.2）下，将方程（2.1）化成(2.3)其中，这样关于（2.1）的解的稳定性问题就化为（2.3）的零解的稳定性问题了。因此，我们可以只考虑（2.1）的零解的稳定性，即假设,并有如下定义：定义2.1若对于任意给定的和，存在,使当时有（2.4）对所有的成立，则称（2.1）的零解是稳定的
5、，反之是不稳定的。定义2.2若（2.1）的零解是稳定的，且存在（为定义2.1中的），当时有则称（2.1）的零解是渐近稳定的。例1.考察系统的零解的稳定性。解：不妨取初始时刻,对于一切,方程组满足初值条件的解为对任一，取，则当时，有故该系统的零解是稳定的。然而，由于所以该系统的零解不是渐近稳定的。2、常微分方程解的稳定性的重要意义在实际情况中,干扰性因素总是不可避免的,因此稳定性理论的研究有很重要的理论意义和实用价值,这也是稳定性理论蓬勃发展的原因。李雅普诺夫首先给出了常微分方程解稳定的严格定义(称为“李雅普诺夫意义下
6、的稳定性”):如果对于任何正数ε,无论它多么小,可以选取另一个正数η(ε),使得对于所有受干扰的运动,当其在初始时刻t0时满足而在所有t>t0时满足不等式则的未被扰动运动(即)是稳定的;反之,则称未被扰动运动是不稳定的。这个定义简单而有力,既反映了深刻的物理本质,又具有严格的数学含义,极大地推广了不动点或平衡解的稳定性定义,成为更严格、更自然的定义。接着,他又给出了两种解题方法:(1)幂级数展开法,适用于已知扰动运动方程一个明确解(通常为无穷级数的形式)的情形。(2)李雅普诺夫直接方法,即李雅普诺夫第二方法,至今它仍
7、是解决稳定性问题的主要工具。这种方法不用寻求运动方程的特解与通解,只要结合实际的物理背景,构造一类具有特殊性质的李雅普诺夫函数,利用它控制积分曲线的动向,从而解决未被扰动运动的稳定性问题。李雅普诺夫使用分析的方法,以严格的分析证明解决稳定性问题。理论的严格性与彻底性是李雅普诺夫工作的显著特征之一。如今,李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。不仅有精确的定义,更有严格的分析证明,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。3、李雅普诺夫第二方法3.1李雅普诺夫函数的介绍李雅李雅普诺夫创立了处理
8、稳定性问题的两种方法：第一方法要利用微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展；第二方法是在不求方程解的情况下，借助一个所谓的李雅普诺夫函数和通过微分方程所计算出来的导数的符号性质，就能直接推断出解的稳定性，因此又称为直接法。下面，先引入李雅普诺夫函数概念我们考虑自治系统(3.11)假设在上连续，满足局部利普希茨条件，且.定义3.1若函数满足,
