常微分方程解的稳定性(修改)22642

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1、常微分方程解的稳定性摘要本文简要介绍了常微分方程解的稳定性理论的相关概念及其在解决微分方程相关问题的重要意义。最后，介绍用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数來判断常微分方程的稳定性及具在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。关键字：常微分方程稳定性李雅普诺夫函数V函数构造方法引言常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引入儿何方法，开创了常微分方程定性理论，同时在分析中引入儿何方法，搭建起分析与儿何之间的沟通桥梁，带来了微分方程研究的新突破。李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基

2、础上，转而进入了新的稳定性研究。如今，李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。不仅有精确的定义，更有严格的分析证明，将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。本文论述常微分方程解的稳定性的定义及其研究常微分方程相关问题的重要思想，并用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。1、常微分方程稳定性微分方程自诞生以来就一直以微分方程解的求法为研究中心。数学家在微分方程求解过程中进行了不懈的努力，但始终没有从根本上摆脱求确定

3、解的桎梏，致使研究的道路越来越窄。此时单纯的定量分析已不能解决问题，必须用一种综合化、整体化的思想加以考虑.避开微分方程求精确解的定量方法，转向运用稳定性方法探求解的性质，从而解决常微分方程（组）的解的问题.考虑微分方程组罟（2.1）其中函数对xGDJR11和t5（-03,+03）连续，对x满足局部利普希茨条件。设方程（2.1）对初值代5X1）存在唯一解x=（p（匸如Xi）,而其他解记作X=x（t,tgX。）・本文中向量X=X2,-•,Xn）T的范数取IIX11=（丫去xf醴・如果所考虑的解的存在区间是

4、有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生的李雅普诺夫意义下的稳定性概念。如果对于任意给定的e>0和t&>0都存在S=S（gj>0,使得只要II叼一卷

5、

6、<5就有IIx（t,mx0）一gtOixx）

7、

8、<£对一切t>t0成立，则称（2.1）的解如Xi）是稳定的，否则是不稳定的。假设X=（p（t^如Xj_）是稳定的，而且存在§1，使得只要I知一％II

9、稳定的。为了简化讨论，通常把解x=cp（t,5」X0）的稳定性化成零解的稳定性问题。下面记X（0=x（t,如x0）,（t）的稳定性问题就化为（2.3）的零解y=o的稳定性问题了。因此，我们可以只考虑（2・1）的零解X=0的稳定性

10、，即假设f（t,O）=0,并有如下定义：定义2.1若对于任意给定的EA0和to>0,存在审=5（EjA0,使当IIXc>

11、]

12、

13、VE（2.4）对所有的t>t0成立，则称（2.1）的零解是稳定的，反之是不稳定的。定义2.2若（2.1）的零解是稳定的，且存在0V6M6（8为定义2.1中的6）,当I

14、CSj时有则称(2.1)的零解是渐近稳定的。例1.考察系统的零解的稳定性。解：不妨取初始时刻5=0,对于一切t>0,方程组满足初值条件x(0)=和y(O)=C4+X世0)的解为=Xq.co

15、st+y&sint=-Xgsint+y^cost对任一e>0，取5=e，则当时，有1[x2(t)+y2(t)]221=[(x&cost+yosint^)2+(-x^sint+yQcost)]z=+2<5=e故该系统的零解是稳定的。然而，由于亡豐［汽沪护①卡=斶+閻訂0所以该系统的零解不是渐近稳定的。2、常微分方程解的稳定性的重要意义在实际情况中，干扰性因素总是不可避免的，因此稳定性理论的研究有很重要的理论意义和实用价值，这也是稳定性理论蓬勃发展的原因。李雅普诺夫首先给出了常微分方程解稳定的严格定义（称为

16、“李雅普诺夫意义下的稳定性”）：如果对于任何正数£,无论它多么小，可以选取另一个正数n（e），使得对于所有受干扰的运动，当其在初始时刻to时满足兰H（s=lZ・・m而在所有t〉to时满足不等式

17、xff（t）I<8（s=12…则^=f（Ex“x刃…的未被扰动运动（艮1%=际=1简…」）是稳定的；反之，则称未被扰动运动是不稳定的。这个定义简单而有力，既反映了深刻的物理本质，乂具有严格的数学含义，极大地推广了不动点或平衡解的稳定性定义,成为更严格