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1、更多论文http://www.docin.com/fanteral二阶常微分方程解的稳定性研究摘要通过函数方法讨论形如的二阶微分方程零解的稳定性、渐近稳定性和不稳定性.关键词二阶微分方程函数法零解的稳定性1.形如的二阶微分方程零解的稳定性定理、渐近稳定性定理和不稳定性定理对于微分方程组(1)假设,且在的某领域(为正常数)内有连续的偏导数,因而方程组(1)的由初值条件所确定的解在域内存在且唯一.其中的范数定义为,满足在域的局部利普希茨条件.显然是其零解.将方程组的特解通过变换化为零解再进行零解稳定性态的讨论,可不必就各种特解讨论其稳定性态.驻定微分方程常用的特解是常数解,即方程右端函数等于
2、零时的解.定义1如果对任意给定的,存在（一般与和有关）,使当任一满足时,方程组(1)的由初值条件确定的解,对一切均有，则称方程组(1)的零解为稳定的.如果方程组(1)的零解稳定，且存在这样的使得当时,满足初始条件的解均有,则称零解为渐近稳定的.当零解不是稳定时,称它是不稳定的.即是说:如果对给定的某个给定的不管怎样小,总有一个满足,使由初值条件所确定的的解,至少存在某个使得更多论文http://www.docin.com/fanteral,则称方程组(1)的零解为不稳定的.定义2设函数在中原点的某领域中有定义,在连续可微,且满足.若除原点外即对所有有,则称为正定函数(负定函数);若对所有
3、恒有,则称为半正定函数或常正函数(半负定函数或常负函数);若在中原点的任一领域内即可取正值,也可取负值,则称为变号函数.引理如果一阶线性微分方程组(2)的特征根均不满足关系,则对任何负定(或正定)的对称矩阵,均有唯一的二次型使其通过方程组(2)的全导数有,且称对称矩阵满足关系式,这里分别表示的转置.定义3假设函数关于所有变元的偏导数存在且连续,以方程组,(1)的解代入,然后对求导数,(3)这样求得的导数称为函数通过方程组(1)的全导数.定理1若有原点的领域和一个正定(负定)函数,使得通过其方程组的全导数是半负定(半正定)或恒等于零的,则方程组(1)的零解是稳定的;若使得是负定(正定)时,
4、方程组(1)的零解时渐近稳定的.更多论文http://www.docin.com/fanteral证设函数正定,对任意给定的(不妨假设闭球在中),取,则当时,的点必全部位于原点的领域内.由的连续性可知,必有,使得当时,.由于,当时,对一切有,所以当时,.这就说明了半负定时方程组(1)的零解是稳定的.当负定时,方程组(1)的零解稳定,只要,即可证明方程组(1)的零解渐进稳定.利用反证法,设方程组(1)的零解不是渐进稳定的,则至少有一个从上述院的的领域内某点出发的解,使得.由于负定,故单调下降,从而由的正定性知必有,且时.由的连续性知,必存在,使得时.又由于是负定的,必有,在区域内,,由(3
5、)式得.对上式两边积分得.这表明,这与矛盾.故方程组(1)的零解渐进稳定.例1讨论二阶线性微分方程零解的稳定性.解经过变换,化为平面线性微分方程组其特征根为.满足条件.又因为其系数矩阵,任一负定对称矩阵和更多论文http://www.docin.com/fanteral,可构造二次型,并得三元线性代数方程组解此方程组得到,从而得二次型函数.显然此二次型函数是正定的,且其通过线性方程组的全导数为,它是负定函数,由定理1可知二阶线性微分方程的零解是渐近稳定的.例1讨论二阶线性微分方程零解的稳定性.解令,将该方程化为等价的微分方程组其特征根为.满足条件.又因为其系数矩阵,任一正定对称矩阵和,可
6、构造二次型,并得三元线性代数方程组解此方程组得到,从而得二次型函数.显然此二次型函数是负定的,且其通过线性方程组的全导数为更多论文http://www.docin.com/fanteral,它是正定函数,由定理1可知二阶线性微分方程的零解是渐近稳定的.定理2设在原点的领域内存在正定函数,它沿着方程组(1)轨线的全导数是半负定的,如果集合内除原点外,不再包含方程组的其他轨线,则方程组(1)的零解渐进稳定.证由定理1可知,在定理2的条件下的零解是渐近稳定的.于是对给定的(不妨假定闭球含在内),可以找到,使得当时,方程组(1)满足的解;当时满足,且由易见是的单调非增有界函数,故必有极限,令.由
7、于的正半轨有界,故它的极限集非空,若,则有.这表明,从而有.由于是由方程组(1)的整条轨线组成,而在中除外不再包含方程组(1)的其它轨线,故有.于是有.零解的渐近稳定性得证.例1讨论二阶非线性微分方程零解的稳定性.其中都是连续函数,且满足下列条件(1)(2).解选取,由条件(1)知,是正定函数.计算沿着该方程组轨线的全导数得.由条件(2)知是半负定的.又因为集合更多论文http://www.docin.com/fanteral.由该
