多延迟微分方程数值解_方法的稳定性

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1、第26卷第期哈尔滨工业大学学报3O26,No.31994年6月JORNALOFARBNNSTTTEOFTECNOLOGYJnC1994U多延迟微分方程数值解*0一方法的稳定性王晓彪刘明珠储钟武(数学系).摘要研究延迟微分方程(DD)E数值解的稳定性主要分析用新0一方法解一般线`aT,,a`,ze,,性试验方程夕(t)=夕(t)+b少(t一)+b沙(t一几)+…+夕(t一几)其中CbC)T>o,,,,。j二12…s所得到的数值解的性态证明出新0一方法是GsP一稳定的充要条件是李(e(1.2关键词延迟微分方程;数值解;

2、稳定性;中国图书资料分类号0241.8O引言.01新O一方法研究如下初值问题的数值解,`,,,,.夕t=t夕t夕:tt、夕气tt)0(0a()f(()(())…(()))l)y(t)=少(t),t簇O(0.lb),,,,,,,其中f吩C=12…s)表示给定的函数且以t]簇t利用所谓的新o一方法可以计算,,,。城t)在点t=nh的近似值yn(n=12其中h表示网格点的步长…,。下面方法称为新O一方法例如参见文[2]。+、。n,。+t。,h二`n人:1n,,夕=夕+hf((+0)h0夕+(l一o)夕0夕([(+l)h]

3、)+(l一0)夕(【h])…:.h:n+lh])h::noy(【()+(l一o)夕([h])(02),,,,,.,当。=ol2…其中。为参数o簇。簇1用来确定方法并且夕。=必(o)夕h(r)=必(r)(当,,t(0时)尹(O(当:>0时)由分段线性插值给出即夕h:=t一kh(k+1)h一t*,,.()y*+一+夕kh

4、*国家自然科学基金资助课题:19071025)(墓金号哈尔滨工业大学学报第卷0.一般试验问题及其渐近稳定性考虑一般试验问题`a,,.y(t=)(tJ)+bly(t一Tl)+byZ(t一2T)+…+y(r一、)(t)0)(04a)夕(t)=必(t)(r簇0)(0.4b),,,,,,ab。bZ…b乒coT,二。其中<簇几簇簇、穴O是任意给定的复值连续函数..通过对一般问题(04)的数值解的稳定性态分析来评估方法(02)的稳定性.首先研究..(04)的理论解的稳定性.(o4a)对应的特征方程为a一一一`又一阮e拓,-sb

5、e从=0.(05)一.,,,,。定义01如果对于任意的初值函数奴)t及任意的马>Oj=12…:(0.4)的解y(t),.~0(t一的)则称延迟微分方程(04)是渐近稳定的。,,,,,定理.02对任意的,>Oj=12二、s当t一的时(0.4a)的所有连续解都趋向于.零的充要条件是特征方程(05)的所有根都具有负实部。,.下面定理推广【31中的结论给出(04)是渐近稳定的充分条件。,l,,,:定理.03若ab姚…b满足,.Re(a)<006a()S,”,,<一Re(a,.篙(06b),,,,,.则对于任意马>0仃=12

6、…s)(05)的所有根都具有负实部。,,,。.证明采用反证法假定(.06)成立而结论不成立推出矛盾令又=x+iy是(05)的,·一’一’,`十“+、,一x,解则特征方程(05’变为`,一”,气再令“,”尸呜如果Re以)=)0那么属SSxea,e一cos·一“一码y:+,e,x,a二(,篙,”,`鸣,窄’”,而若R(a)<0Re以)=)0则有一Re()(S,·。.ea。一Rea少”6b’矛盾一R()因此得(,格”,,但这与(证毕,,,,:.,.lZ。推论.04若abb…b满足条件(06)则延迟微分方程(04)是渐近稳

7、定的,,,,.,定义.05如果对于满足条件(.06)的所有系数ab卜热…bs(04)的在网格点t=nh,,,。。。,(n=012…处的数值解y满足y~0(当~co时)对于任意的步长h>O则称数值方程是GsP一稳定的。1新O一方法的稳定性分析...02)、03)应用于(04)得(假定(l将((一而)笋0)一’。11。+二.l。、。,n+1l一l+(l一0,+万0占[,卜+(l一占),一]y=(向{[)1H、:’`’+l一l占,。+:一二+.。一,++b:s。*2一。.+。+l一。(0)b[占夕(l一占)夕}]0[占夕

8、(l一占办夕J:s。+,,:.+1m+s一。(一O)b【占y一(l一占)y」}(11)。::一,Z.,一’,,一’,其中)m)m)…)m)mmj是满足条件与h簇m的最小整数毛一m,一jTh妒0[,,=j,=1,2,,s,=,.,k,,二,s,l)瓦hbj…万hal(1)所需的开始值yk=。1.2m由已知函数··:一第期王晓彪等多延迟微分方程数值解方法的稳定性