数学实验教程实验8(多元函数积分学)

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1、实验8多元函数积分学实验目的1.理解重积分的概念以及积分区域的绘制2.理解曲线积分以及曲面积分的概念及计算方法实验准备1.复习二（三）重积分、曲线积分、曲面积分的定义2.S习第一、二类型曲线积分的计算3.复习重积分、曲而积分的计算：直角坐标、柱坐标和球坐标。实验内容1.二重积分的概念及计算2.三重积分的概念及计算3.曲线积分的概念及计算4.曲而积分的概念及计算软件命令表8-1Matlab多元函数积分学命令函数名称调用格式说明symssyms变量名1,变量名2,…定义符号变量symsym(’x’，…)定义符号变量dblquaddblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol

2、)计算二重积分（数值积分）triplequadtripiequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)计算三重积分（数值积分）intint(4fun’x’，xmin,xmax)符号积分曲而绘图函数surfsurf(X,Y,Z)曲面contourcontour(X,Y,Z)等值线patchpatch(X,Y,Z,C)画片图实验示例【例8.1】二重积分定义的几何演示JI(-x+^v-T~dxdy,D:x

3、

4、直角坐标系】：体积微元的底而而积为Act,=Ar,.xA~,上式变成JJ/（Ay）dcr=JimD'=1【步骤】：（直角坐标）【Step1】：对区域进行划分成mxw等份即取取每个矩形的右上角点为（纟，77;）,则$=-1+，•*含，/=1，2，."，m;=-1+yU=1，2”"，n22[Step2]：画出/（x，y）=—的图形和S（m，n）所表示的体积;【Step3】:改变m,n，重复Stepl和Step2。【程序】：参见Int2DefDemo.m【输出】：略。【例8.2】计算下列重积分：(1)1=axydydx；(2)Hrx2ydxdy:(3)7=^JrJ.}(x2+y2+z2)6/zJyt

5、Zr；(4)/+【程序及输出】.•(1)I=int(int(’x*y’，’y’，1，’x’)，’x’，1，2)输出：9/8;(2)I二dblquadCx."2*/，1,2,1,2)输出：3.5；(1)symsxyzF=int(int(int(x"2+y"2+z"2,z,sqrt(x*y)，x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2);VF2=vpa(F,6)输出：224.922(4)symsxyzFl=int(int(int((x+y+z)2,z,0,1),y,0,1),x,0,1);VFl=vpa(FI,6)输出:2.50000.【例8.3】二重积分的计算求球体x2+/+z2<4

6、a2被圆柱面x2+y2=2ax(a>0)所截成的(含在圆柱面内的部分)立体的体积。【步骤】：【Stepl】：绘制出立体的形状，并确定积分区域，以及积分表达式:D={(x,y)y=yJ2ax-x，=rsin汐，则积分区域D变为：Dr9={(r,^)10

7、tep3]：计算积分symstraI=int(int(r*sqrt(4*a*2-r"2),r,0,2*a*cos(t)),t,0,pi/2)【输出】:I=4/9*a"4*(3*pi-4)/(a"2广(1/2)，原积分值为:16(3;r~4)^o9【例8.4】计算三重积分计算/=+/+z)dxdydz,其屮V为锥而％2+/=z2及平而z=1所围成V的区域，用图形演示所使用的方法。【步骤】：【Stepl】：绘制积分区域V:图8-4三重积分的计算次序[Step2]：确定积分次序为先xy后z，即先确定出z的范围：[0,1],然后将V投影到xoy平面得Dxoy，可得:I=JJJ(x2+y2+z)eLxd

8、ydz=£dzJJ(x2+y2+z)dxdy[Step3]：确定xoy的积分方法与次序，采用极坐标:x=rcos3,y=rsin汐，0，2)^，其屮L是圆周x2+y2=