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1、实验4一元函数积分学实验目的1．加深对定积分定义的理解2．掌握求一元函数积分的计算方法3．求解定积分的应用问题实验准备1．定积分的定义及几何意义定义：；几何意义：曲边梯形的面积。2．牛顿-莱布尼茨公式基本公式：3．定积分的数值计算矩形法，梯形法，辛普森法。4．定积分的几何应用计算面积、弧长、体积。实验内容1．定积分的定义、几何表示与计算2．定积分的数值计算3．定积分的几何应用软件命令表4-1Matlab一元函数积分命令函数名称调用格式说明symssyms变量名1，变量名2,…定义符号变量symsym('x',…)定义符号变量intint(f(x),x)求不定积分intint(f(x
2、),a,b)计算定积分quadq=quad(fun,a,b,tol,trace)计算定积分实验示例【例4.1】定积分定义的几何演示定积分与其积分和的关系。【原理】：依据定积分的定义：【步骤】：【Step1】：将区间[0,pi]分成n等份即取，取每个区间右端点为，并计算积分和；【Step2】：画出被积函数的图形和S(n)所表示的面积；【Step3】：改变n，重复Step1和Step2。【程序】：参见Exm04Demo01.m。【输出】：见图4-1。图4-1定积分的定义【例4.2】不定积分的计算计算下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【命令】：symsx;in
3、t(exp(4*x)*sin(3*x),x)int(x*log(x),x)int(x*sin(3*x),x)int(log(x+(x^2+1)^(1/2)),x)int((x+1)/(x^2+4*x+13),x)int(sin(2*x)/(sin(x)^2+cos(x)),x)【例4.3】定积分的计算计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.【命令】：symsxabn;int((x-b)/(x+a),0,b)int((1+x)^(1/2),1,4)int(tan(x)^3,0,pi/4)int(1/((3+6*x-x^2)^(1/2)),9,1)int
4、(1/(2+sin(x)),0,pi/2)int(sin(x)^n,0,pi/2)int(exp(-x^2),0,1)注意：为了获得数值结果，可以使用double(int(…))命令。【例4.4】定积分的近似计算利用矩形法、梯形法和辛普森法近似计算定积分。【原理】：【矩形法原理】：；【梯形法原理】：；【辛普森法原理】：；【步骤】：【Step1】：将区间[a,b]进行n等分或者2M等分；【Step2】：利用上述公式进行计算【程序】：参见程序Exm04Demo04.m。【输出】：三种方法的输出结果分别为：0.77782，0.74621，0.74682。【例4.5】变上限定积分计算，并画
5、出函数的图像。【步骤】：【Step1】：计算；【Step2】：根据【Step1】的结果绘制图形。【程序】：%计算clearsymstx;f=int(sin(t),0,x^2);df=diff(f,x);%绘图holdonfplot('-cos(x^2)+1',[06],'r')fplot('2*sin(x^2)*x',[06],'b')fplot('sin(x)',[06],'g')holdoff图4-2【例4.6】积分中值定理与微分中值定理的比较设函数，试比较Lagrange微分中值定理和积分中值定理的异同。【原理】：【Lagrange微分中值定理】：【积分中值定理】：【步骤】：
6、【Step1】：显示微分中值定理的几何意义(1)解方程；(2)绘制图形【Step2】：显示积分中值定理的几何意义(1)解方程(2)绘制几何图形【程序】：参见Exm04Demo06.m【结论】：对于连续函数而言，它们说明的是相同的事实。实验练习1．计算下列积分：（1）；（2）；（3）。2．求星形线所围成图形的面积。3．求曲线相应于的一段弧长。4．求由曲线所围成的图形分别绕轴旋转所成立体的体积。5．试举例验证结论：设是区间上连续的正函数，那么，.即选取充分大（小）的n，观察相应的积分值与函数最大值和最小值的关系。
