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1、实验4一元函数积分学实验目的1.加深对定积分定义的理解2.掌握求一元函数积分的计算方法3.求解定积分的应用问题实验准备1.定积分的定义及几何意义定义:;几何意义:曲边梯形的面积。2.牛顿-莱布尼茨公式基本公式:3.定积分的数值计算矩形法,梯形法,辛普森法。4.定积分的几何应用计算面积、弧长、体积。实验内容1.定积分的定义、几何表示与计算2.定积分的数值计算3.定积分的几何应用软件命令表4-1Matlab一元函数积分命令函数名称调用格式说明symssyms变量名1,变量名2,…定义符号变量symsym('x',…)定义符号变量intint(f(x),x)求不定积分intint(f(x
2、),a,b)计算定积分quadq=quad(fun,a,b,tol,trace)计算定积分实验示例【例4.1】定积分定义的几何演示定积分与其积分和的关系。【原理】:依据定积分的定义:【步骤】:【Step1】:将区间[0,pi]分成n等份即取,取每个区间右端点为,并计算积分和;【Step2】:画出被积函数的图形和S(n)所表示的面积;【Step3】:改变n,重复Step1和Step2。【程序】:参见Exm04Demo01.m。【输出】:见图4-1。图4-1定积分的定义【例4.2】不定积分的计算计算下列不定积分:(1);(2);(3);(4);(5);(6).【命令】:symsx;in
3、t(exp(4*x)*sin(3*x),x)int(x*log(x),x)int(x*sin(3*x),x)int(log(x+(x^2+1)^(1/2)),x)int((x+1)/(x^2+4*x+13),x)int(sin(2*x)/(sin(x)^2+cos(x)),x)【例4.3】定积分的计算计算下列定积分:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7).【命令】:symsxabn;int((x-b)/(x+a),0,b)int((1+x)^(1/2),1,4)int(tan(x)^3,0,pi/4)int(1/((3+6*x-x^2)^(1/2)),9,1)int
4、(1/(2+sin(x)),0,pi/2)int(sin(x)^n,0,pi/2)int(exp(-x^2),0,1)注意:为了获得数值结果,可以使用double(int(…))命令。【例4.4】定积分的近似计算利用矩形法、梯形法和辛普森法近似计算定积分。【原理】:【矩形法原理】:;【梯形法原理】:;【辛普森法原理】:;【步骤】:【Step1】:将区间[a,b]进行n等分或者2M等分;【Step2】:利用上述公式进行计算【程序】:参见程序Exm04Demo04.m。【输出】:三种方法的输出结果分别为:0.77782,0.74621,0.74682。【例4.5】变上限定积分计算,并画
5、出函数的图像。【步骤】:【Step1】:计算;【Step2】:根据【Step1】的结果绘制图形。【程序】:%计算clearsymstx;f=int(sin(t),0,x^2);df=diff(f,x);%绘图holdonfplot('-cos(x^2)+1',[06],'r')fplot('2*sin(x^2)*x',[06],'b')fplot('sin(x)',[06],'g')holdoff图4-2【例4.6】积分中值定理与微分中值定理的比较设函数,试比较Lagrange微分中值定理和积分中值定理的异同。【原理】:【Lagrange微分中值定理】:【积分中值定理】:【步骤】:
6、【Step1】:显示微分中值定理的几何意义(1)解方程;(2)绘制图形【Step2】:显示积分中值定理的几何意义(1)解方程(2)绘制几何图形【程序】:参见Exm04Demo06.m【结论】:对于连续函数而言,它们说明的是相同的事实。实验练习1.计算下列积分:(1);(2);(3)。2.求星形线所围成图形的面积。3.求曲线相应于的一段弧长。4.求由曲线所围成的图形分别绕轴旋转所成立体的体积。5.试举例验证结论:设是区间上连续的正函数,那么,.即选取充分大(小)的n,观察相应的积分值与函数最大值和最小值的关系。