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《§4(3 最高公因式、最低公倍式.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、§4-3最高公因式、最低公倍式(甲)因式與倍式(1)定義：設f(x),g(x)為二多項式，若存在多項式h(x)使得f(x)=g(x)×h(x)，則稱f(x)為g(x)的因式或g(x)為f(x)的倍式。符號：f(x)
2、g(x)。例如：因為x3-1=(x-1)(x2+x+1)，所以x-1與x2+x+1均為x3+1的因式，x3+1為x-1與x2+x+1的倍式。例如：因為==，所以x+1，x+2，，都是的因式。注意：由上面兩個例子可知，若f(x)
3、g(x)，則c×f(x)
4、g(x)(c¹0)。因此就一般而言，只要求出整係數的因式或倍式即可。(2)性質：若設d(x)
5、
6、f(x)，d(x)
7、g(x)，則d(x)
8、m(x)×f(x)+n(x)×g(x)。(乙)公因式與公倍式(1)公因式與公倍式：若多項式d(x)同時為多項式f(x),g(x)的因式，則稱d(x)為f(x),g(x)的公因式。注意：d(x)=c(c¹0)為任何兩個多項式的公因式。設d(x)為f(x),g(x)的公因式，則k×d(x)(k¹0)亦為f(x),g(x)的公因式，因此我們通常只取一個代表就行了。如果多項式f(x),g(x)除了常數以外，沒有其它的公因式，就稱它們互質。設f(x),g(x)都是非零多項式，如果m(x)同時是f(x),g(x)的倍式，那麼
9、就稱m(x)為f(x),g(x)的公倍式。設m(x)為f(x),g(x)的公倍式，則k×m(x)亦為f(x),g(x)的公倍式，因此我們通常只取一個代表就行了。例如：設f(x)=4x2-1,g(x)=4x2+4x+1,h(x)=2x2-7x+3。求f(x),g(x)的公因式，g(x),h(x)的公因式。因為f(x)=(2x+1)(2x-1)，g(x)=(2x+1)2，h(x)=(2x-1)(x-3)，所以2x+1,x+，4x+2…等凡是k(2x+1)的形式都是f(x),g(x)的公因式。在g(x),h(x)中，除了常數外沒有其它的公因式，故g(x),h(x
10、)互質。(2)最高公因式、最低公倍式：設f(x),g(x)為兩多項式，如果d(x)是它們公因式中次數最高的，那麼稱d(x)為最高公因式(H.C.F)，符號：(f(x),g(x))=d(x)。注意：當多項式f(x),g(x)互質時，符號：(f(x),g(x))=1。最高公因式與公因式一樣，並不是只有一個，不過任兩個最高公因式之間都只差一個常數因式，因此通常所謂兩個多項式的最高公因式，可取它們的任意一個最高公因式。設f(x),g(x)為兩多項式，如果m(x)是它們公倍式中次數最低的，那麼稱d(x)為最低公因式(L.C.M)，符號：[f(x),g(x)]=m(x
11、)注意：最低公倍式也不是唯一的，不過它們之間也都只差一個常數因式。(3)H.C.F與L.C.M的求法：H.C.F的求法通常有三個：因式分解法：將各個多項式分別因式分解，再取其中公因式相乘，即可得到H.C.F。例如：f(x)=(x2-x+3)(x+4)(x-5)(x+1)，g(x)=(x2-x+3)(2x-3)(x+6)(x-5)則f(x)與g(x)的最高公因式為(x2-x+3)(x-5)輾轉相除法：設f(x)，g(x)為二多項式，且g(x)¹0，則由除法定理可知：恰有兩個多項式q(x),r(x)滿足f(x)=g(x)×q(x)+r(x)，其中r(x)=0或
12、degr(x)13、f(x)，d(x)
14、g(x)，則d(x)
15、m(x)×f(x)+n(x)×g(x)。L.C.M的求法：因式分解法：先將各多項式因式分解，再取出最低公倍式。例如：f(x)=(x2-x+3)(x+4)(x-5)(x+1)，g(x)=(x2-x+3)(2x-3)(x+6)(x-5)則f(x)與g(x)的最低公因式為(x2-x+3)
16、(x-5)×(x+4)(x+1)(2x+3)(x+6)輾轉相除法：利用輾轉相除法，求出f(x)與g(x)的H.C.F為d(x)，則f(x)與g(x)的L.C.M=。原理：f(x)×g(x)=k×(f(x),g(x))×[f(x),g(x)]以f(x)=x5-2x3-2x2-3x-2，g(x)=x4-2x3-2x-1為例，求f(x)與g(x)的最低公因式。[例題1]利用因式分解，求下列多項式的H.C.F與L.C.M。f(x)=x3+6x2+11x+6，g(x)=x4+x3-4x2-4xAns：(x+1)(x+2)，x(x+1)(x+2)(x-2)(x+3)[
17、例題2]利用輾轉相除法求x4+x3-9x2-3x+18與x5+6x
