资源描述：
《§3( 4 函数单调性与曲线的凹凸性.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、§3.4函数单调性与曲线的凹凸性一．教学目的（一）知识目的（1）了解函数单调性与曲线的凹凸性的有关概念；（2）会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；（二）能力目标（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；（3）训练学生思维的灵活性。（三）德育目标（1）激发学生的内在动机；（2）养成良好的学习习惯。二．教学的重、难点及教学设计（一）教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性（二）教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导（三）教学设计要点：1．用导数判断
2、函数的单调性；2．用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；3．单调性及凹凸性的应用；三．教学过程1、函数单调性的判定法如果函数y=f(x)在[a,b]上单调增加（单调减少）,那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）,即y¢=f¢(x)³0(y¢=f¢(x)£0).由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理1(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内f
3、¢(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f¢(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.证明只证(1).在[a,b]上任取两点x1,x2(x10,因此,如果在(a,b)内导数f¢(x)保持正号,即f¢(x)>0,那么也有f¢(x)>0.于是f(x2)-f(x1)=f¢(x)(x2-x1)>0,即f(x1)4、)在[a,b]上单调增加.注:判定法中的闭区间可换成其他各种区间.例1判定函数y=x-sinx在[0,2p]上的单调性.解因为在(0,2p)内，,y¢=1-cosx>0,所以由判定法可知函数y=x-cosx在[0,2p]上的单调增加.例2讨论函数y=ex-x-1的单调性.（没指明在什么区间怎么办？)解y¢=ex-1.函数y=ex-x-1的定义域为(-¥,+¥).因为在(-¥,0)内y¢<0,所以函数y=ex-x-1在(-¥,0]上单调减少;因为在(0,+¥)内y¢>0,所以函数y=ex-x-1在[0,+¥)上单调增
5、加.例3.讨论函数的单调性.解:函数的定义域为(-¥,+¥).函数的导数为(x¹0),函数在x=0处不可导.当x=0时,函数的导数不存在.因为x<0时,y¢<0,所以函数在(-¥,0]上单调减少;因为x>0时,y¢>0,所以函数在[0,+¥)上单调增加.如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f¢(x)=0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f¢(x)在各个部分区间内保持固定的符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调.例4.确定函数f(x)=2x3-
6、9x2+12x-3的单调区间.解这个函数的定义域为:(-¥,+¥).函数的导数为:f¢(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).导数为零的点有两个:x1=1、x2=2.列表分析:(-¥,1][1,2][2,+¥)f¢(x)+-+f(x)↗↘↗函数f(x)在区间(-¥,1]和[2,+¥)内单调增加,在区间[1,2]上单调减少.例5.讨论函数y=x3的单调性.解函数的定义域为:(-¥,+¥).函数的导数为:y¢=3x2.除当x=0时,y¢=0外,在其余各点处均有y¢>0.因此函数y=x3在区间(-¥,0]及
7、[0,+¥)内都是单调增加的.从而在整个定义域:(-¥,+¥)内是单调增加的.在x=0处曲线有一水平切线.一般地,如果f¢(x)在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正（或负）时,那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例6.证明:当x>1时,.证明:令,则.因为当x>1时,f¢(x)>0,因此f(x)在[1,+¥)上f(x)单调增加,从而当x>1时,f(x)>f(1).由于f(1)=0,故f(x)>f(1)=0,即,也就是(x>1).二、曲线的凹凸与拐点定义（凹凸性）设f(x)在区间I上连续,
8、如果对I上任意两点x1,x2,恒有,那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有,那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).定义¢设函数y=f(x)在区间I上连续,如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的.凹凸性的判定:定理设f(x
