资源描述:
《§3(4函数单调性和曲线凹凸性》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§3.4函数单调性与曲线的凹凸性一.教学目的(一)知识目的(1)了解函数单调性与曲线的凹凸性的有关概念;(2)会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点;(二)能力目标(1)培养学生将实际问题转化为数学问题的能力;(2)培养学生观察、比较、抽象、概括的能力;(3)训练学生思维的灵活性。(三)德育目标(1)激发学生的内在动机;(2)养成良好的学习习惯。二.教学的重、难点及教学设计(一)教学重点:应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性(二)教学难点:用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导(三)教学设计要点:1.用导数判
2、断函数的单调性;2.用导数判断函数图形的凹凸性和拐点;3.单调性及凹凸性的应用;三.教学过程1、函数单调性的判定法如果函数y=f(x)在[a,b]上单调增加(单调减少),那么它的图形是一条沿x轴正向上升(下降)的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的(是非正的),即y¢=f¢(x)³0(y¢=f¢(x)£0).由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢?定理1(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)
3、内f¢(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f¢(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.证明只证(1).在[a,b]上任取两点x1,x2(x10,因此,如果在(a,b)内导数f¢(x)保持正号,即f¢(x)>0,那么也有f¢(x)>0.于是f(x2)-f(x1)=f¢(x)(x2-x1)>0,即f(x1)4、f(x)在[a,b]上单调增加.注:判定法中的闭区间可换成其他各种区间.例1判定函数y=x-sinx在[0,2p]上的单调性.解因为在(0,2p)内,,y¢=1-cosx>0,所以由判定法可知函数y=x-cosx在[0,2p]上的单调增加.例2讨论函数y=ex-x-1的单调性.(没指明在什么区间怎么办?)解y¢=ex-1.函数y=ex-x-1的定义域为(-¥,+¥).因为在(-¥,0)内y¢<0,所以函数y=ex-x-1在(-¥,0]上单调减少;因为在(0,+¥)内y¢>0,所以函数y=ex-x-1在[0,+¥)
5、上单调增加.例3.讨论函数的单调性.解:函数的定义域为(-¥,+¥).函数的导数为(x¹0),函数在x=0处不可导.当x=0时,函数的导数不存在.因为x<0时,y¢<0,所以函数在(-¥,0]上单调减少;因为x>0时,y¢>0,所以函数在[0,+¥)上单调增加.如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f¢(x)=0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f¢(x)在各个部分区间内保持固定的符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调.例4.确定函数f(x)
6、=2x3-9x2+12x-3的单调区间.解这个函数的定义域为:(-¥,+¥).函数的导数为:f¢(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).导数为零的点有两个:x1=1、x2=2.列表分析:(-¥,1][1,2][2,+¥)f¢(x)+-+f(x)↗↘↗函数f(x)在区间(-¥,1]和[2,+¥)内单调增加,在区间[1,2]上单调减少.例5.讨论函数y=x3的单调性.解函数的定义域为:(-¥,+¥).函数的导数为:y¢=3x2.除当x=0时,y¢=0外,在其余各点处均有y¢>0.因此函数y=x3在区间(
7、-¥,0]及[0,+¥)内都是单调增加的.从而在整个定义域:(-¥,+¥)内是单调增加的.在x=0处曲线有一水平切线.一般地,如果f¢(x)在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正(或负)时,那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.例6.证明:当x>1时,.证明:令,则.因为当x>1时,f¢(x)>0,因此f(x)在[1,+¥)上f(x)单调增加,从而当x>1时,f(x)>f(1).由于f(1)=0,故f(x)>f(1)=0,即,也就是(x>1).二、曲线的凹凸与拐点定义(凹凸性)设f(x)在
8、区间I上连续,如果对I上任意两点x1,x2,恒有,那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有,那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).定义¢设函数y=f(x)在区间I上连续,如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方,则称该曲线在区间I上是凹的;如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方,则称该曲线在区间I上是凸的.凹凸性的判定:定理设f(x