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1、函数单调性的判别法单调区间求法小结思考题作业第四节函数的单调性与曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法第三章微分中值定理与导数的应用1定理1单调增加;单调减少.一、单调性的判别法函数的单调性与曲线的凹凸性2证拉氏定理(1)(2)此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注函数的单调性与曲线的凹凸性3例解函数的单调性与曲线的凹凸性定义域为4方法问题如上例,函数在整个定义区间上不是单调的,定义若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的分界点．函数的单调性与曲线的凹
2、凸性二、单调区间求法但在各个部分区间上单调．则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间5函数的单调性与曲线的凹凸性例解定义域单调区间为6例解单调区间为函数的单调性与曲线的凹凸性定义域7单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,说明2区间内有限个点处导数为零,不影响区间的单调性.如,单调增加.8例证函数的单调性与曲线的凹凸性9时,不等式证:令从而且例.证明成立10例证定不出符号函数的单调性与曲线的凹凸性11函数的单调性与曲线的凹凸性12证练习若令则只须证明单调
3、增加.而拉氏定理单调增加.从而函数的单调性与曲线的凹凸性13(concaveandconvex)三、曲线凹凸性的判别法函数的单调性与曲线的凹凸性1.定义如何研究曲线的弯曲方向14定义1恒有凹(凸)函数的单调性与曲线的凹凸性图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方15曲线弧上每一点的切线定义2(上)方,称为凹弧.(凸)凹弧的曲线段的切线斜率是单增的,是单增的,凸弧的切线斜率是单减的,是单减的.而利用二阶导数判断曲线的凹凸性从几何直观上,随着x的增大,都在曲线的下函数的单调性与曲
4、线的凹凸性16定理2二阶导数,凹(凸)函数的单调性与曲线的凹凸性2.凹凸性的判别法17证即这说明切线位于曲线的下方,泰勒公式即f(x)是凹的.函数的单调性与曲线的凹凸性18即例证设函数的单调性与曲线的凹凸性图形是凹的.利用函数图形的凹凸性证明不等式:19例解注凸变凹的分界点.函数的单调性与曲线的凹凸性201.定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.几何上函数的单调性与曲线的凹凸性四、曲线的拐点及其求法(inflectionpoint)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.21拐点的充分条件2.拐点的
5、求法拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.拐点的必要条件具有二阶导数,则点函数的单调性与曲线的凹凸性是拐点的必要条件为若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.22的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸例.求曲线23的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸例.求曲线24例解拐点拐点不存在定义域为(1)(2)(3)列表函数的单调性与曲线的凹凸性25例解拐点的第二充分条件函数的单调性与曲线的凹凸性2
6、6例解函数的单调性与曲线的凹凸性27证法一用单调性证.法二用凹凸性证.例设则即函数的单调性与曲线的凹凸性28内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点29函数的单调性与曲线的凹凸性五、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.单调性的应用:改变弯曲方向的点:凹凸性;拐点;利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.研究曲线的弯曲方向:凹凸性的应用:利用凹凸性证明不等式.30证只要证令则所以即有得函数的
7、单调性与曲线的凹凸性思考题131函数的单调性与曲线的凹凸性思考题22002年考研数学二,8分证明不等式证先证右边不等式.设单调减少,故有即再证左边不等式.(两种方法)设函数32
