最高公因式与最低公倍式

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1、肆芃薆袀腿膆蒂衿袈莂莈袈羀膅蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈羅袅莈莄羄羇膁蚃羄腿莇虿羃节艿薅羂羁蒅蒁薈肄芈莇薈膆蒃蚆薇袆芆薂蚆羈蒁蒇蚅肀芄莃蚄芃肇螂蚃羂莃蚈蚂肅膅薄蚂膇莁蒀蚁袆膄莆蚀罿荿蚅蝿肁膂薁螈膃莇蒇螇袃膀蒃螆肅蒆荿螆膈艿蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂莅袂膄芅蚄袁袄肈薀袀肆芃薆袀腿膆蒂衿袈莂莈袈羀膅蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈羅袅莈莄羄羇膁蚃羄腿莇虿羃节艿薅羂羁蒅蒁薈肄芈莇薈膆蒃蚆薇袆芆薂蚆羈蒁蒇蚅肀芄莃蚄芃肇螂蚃羂莃蚈蚂肅膅薄蚂膇莁蒀蚁袆膄莆蚀罿荿蚅蝿肁膂薁螈膃莇蒇螇袃膀蒃螆肅蒆荿螆膈艿蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂莅袂膄芅蚄袁袄肈薀袀肆芃薆袀腿膆蒂衿袈莂莈袈羀膅蚆

2、袇肃莀薂袆膅膃蒈羅袅莈莄羄羇膁蚃羄腿莇虿羃节艿薅羂羁蒅蒁薈肄芈莇薈膆蒃蚆薇袆芆薂蚆羈蒁蒇蚅肀芄莃蚄芃肇螂蚃羂莃蚈蚂肅膅薄蚂膇莁蒀蚁袆膄莆蚀罿荿蚅蝿肁膂薁螈膃莇蒇螇袃膀蒃螆肅蒆荿螆膈艿蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂莅袂膄芅蚄袁袄肈薀袀肆芃薆袀腿膆蒂衿袈莂莈袈羀膅蚆袇肃莀薂袆膅膃蒈羅袅莈莄羄羇膁蚃羄腿莇虿§最高公因式與最低公倍式主題1：因式與倍式1.因式、倍式：設、為二多項式，且，若存在使，則稱為之因式，為之倍式，以。2.公因式：若多項式同時是與之因式，則稱為與之公因式。(兩多項式的公因式有無窮多個。)3.互質：若多項式與除常數多項式外，沒有其他

3、的公因式，則稱它們互質。4.最高公因式（H.C.F）：設,為兩多項式，若是它們的公因式中次數最高的，則就稱為,之最高公因式。常以或（,）表示。(最高公因式不唯一，但只差常數倍)5.公倍式：設,都是非零多項式，若同時是,之倍式，則稱為,之公倍式。6.最低公倍式（L.C.M）：,的公倍式中，次數最小的，稱為其最低公倍式，常以[，]表示或以表示。(最低公倍式不唯一，但只差常數倍)7.8.9.※牛頓定理【一次因式檢驗法】：為整係數多項式；，若為之因式則且。９※重要範例1.若degf(x)=3，degg(x)=3，選出下列正確的敘述：(A)deg

4、(f(x)+g(x))=6　(B)deg(f(x)+g(x))=3　(C)deg(f(x)g(x))=6　(D)deg(f(x)g(x))=9　(E)若f(x)與g(x)之最高公因式為一次式，則f(x)與g(x)之最低公倍式為五次式【註】degf(x)表示多項式f(x)的次數。【解答】(C)(E)【詳解】(A)(B)錯。deg(f(x)+g(x))£3(C)(D)deg(f(x)g(x))=degf(x)+degg(x)=3+3=6　∴　(C)對，(D)錯(E)對。由f(x)g(x)=k(f(x)，g(x))[f(x)，g(x)]Þ　d

5、eg(f(x)g(x))=deg(f(x)，g(x))+deg[f(x)，g(x)]　Þ　6=1+deg[f(x)，g(x)]故deg[f(x)，g(x)]=5隨堂練習.設degf(x)=5，degg(x)=3，則下列敘述何者正確？(A)deg(HCF)£deg(LCM)　(B)deg(HCF)+deg(LCM)=8　(C)deg(HCF)最大是3　(D)deg(LCM)最小是5　(E)deg(LCM)最大是7。【解答】(A)(B)(C)(D)【詳解】(A)∵　HCF

6、LCM　∴　deg(HCF)£deg(LCM)(B)∵　degf(x

7、)+degg(x)=deg(HCF)+deg(LCM)=8(C)(D)deg(HCF)最大=degf(x)，degg(x)中之較小者　Û　deg(LCM)最小(E)deg(LCM)最大=degf(x)+degg(x)=82.若f(x)=2x2+ax+b，g(x)=3x2+cx+d的HCF為x+1，LCM為6x3+17x2+14x+e，a，b，c，d，eÎR，則(A)a=5　(B)b=3　(C)c=4　(D)d=1　(E)e=3。【解答】(A)(B)(C)(D)(E)【詳解】1°HCF

8、LCM　∴　x+1

9、6x3+17x2+14x+e　∴

10、　e=32°∴　LCM=6x3+17x2+14x+3=(x+1)(2x+3)(3x+1)3°∴　f(x)=2x2+ax+b=(x+1)(2x+3)　∴　a=5，b=3又g(x)=3x2+cx+d=(x+1)(3x+1)　∴　c=4，d=13.a為整數，f(x)=x3-x2+4x+a-7，g(x)=2x3+5x2-7x+2a-6，已知f(x)和g(x)的最高公因式為一次式，求a之值　　　　　。【解答】3【詳解】f(x)=x3-x2+4x+a-7，g(x)=2x3+5x2-7x+2a-6設f(x)與g(x)的最高公因式為d(x)∴　d(x)

11、

12、g(x)-2f(x)　Þ　d(x)

13、7x2-15x+8　Þ　d(x)

14、(7x-8)(x-1)∴　d(x)=7x-8或x-1∵　aÎZ　∴　d(x)=x-1因d(x)

15、f(x)，d(x)

16、g(x)　∴　x-