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《§4(3最高公因式、最低公倍式.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§4-3最高公因式、最低公倍式(甲)因式與倍式(1)定義:設f(x),g(x)為二多項式,若存在多項式h(x)使得f(x)=g(x)×h(x),則稱f(x)為g(x)的因式或g(x)為f(x)的倍式。符號:f(x)
2、g(x)。例如:因為x3-1=(x-1)(x2+x+1),所以x-1與x2+x+1均為x3+1的因式,x3+1為x-1與x2+x+1的倍式。例如:因為==,所以x+1,x+2,,都是的因式。注意:由上面兩個例子可知,若f(x)
3、g(x),則c×f(x)
4、g(x)(c¹0)。因此就一般而言,只要求出整係數的因式或倍式即可。(2)性質:若設d(x)
5、f(x),d(
6、x)
7、g(x),則d(x)
8、m(x)×f(x)+n(x)×g(x)。(乙)公因式與公倍式(1)公因式與公倍式:若多項式d(x)同時為多項式f(x),g(x)的因式,則稱d(x)為f(x),g(x)的公因式。注意:d(x)=c(c¹0)為任何兩個多項式的公因式。設d(x)為f(x),g(x)的公因式,則k×d(x)(k¹0)亦為f(x),g(x)的公因式,因此我們通常只取一個代表就行了。如果多項式f(x),g(x)除了常數以外,沒有其它的公因式,就稱它們互質。設f(x),g(x)都是非零多項式,如果m(x)同時是f(x),g(x)的倍式,那麼就稱m(x)為f(x),g(x)
9、的公倍式。設m(x)為f(x),g(x)的公倍式,則k×m(x)亦為f(x),g(x)的公倍式,因此我們通常只取一個代表就行了。例如:設f(x)=4x2-1,g(x)=4x2+4x+1,h(x)=2x2-7x+3。求f(x),g(x)的公因式,g(x),h(x)的公因式。因為f(x)=(2x+1)(2x-1),g(x)=(2x+1)2,h(x)=(2x-1)(x-3),所以2x+1,x+,4x+2…等凡是k(2x+1)的形式都是f(x),g(x)的公因式。在g(x),h(x)中,除了常數外沒有其它的公因式,故g(x),h(x)互質。(2)最高公因式、最低公倍式:設f(x)
10、,g(x)為兩多項式,如果d(x)是它們公因式中次數最高的,那麼稱d(x)為最高公因式(H.C.F),符號:(f(x),g(x))=d(x)。注意:當多項式f(x),g(x)互質時,符號:(f(x),g(x))=1。最高公因式與公因式一樣,並不是只有一個,不過任兩個最高公因式之間都只差一個常數因式,因此通常所謂兩個多項式的最高公因式,可取它們的任意一個最高公因式。設f(x),g(x)為兩多項式,如果m(x)是它們公倍式中次數最低的,那麼稱d(x)為最低公因式(L.C.M),符號:[f(x),g(x)]=m(x)注意:最低公倍式也不是唯一的,不過它們之間也都只差一個常數因式
11、。(3)H.C.F與L.C.M的求法:H.C.F的求法通常有三個:因式分解法:將各個多項式分別因式分解,再取其中公因式相乘,即可得到H.C.F。例如:f(x)=(x2-x+3)(x+4)(x-5)(x+1),g(x)=(x2-x+3)(2x-3)(x+6)(x-5)則f(x)與g(x)的最高公因式為(x2-x+3)(x-5)輾轉相除法:設f(x),g(x)為二多項式,且g(x)¹0,則由除法定理可知:恰有兩個多項式q(x),r(x)滿足f(x)=g(x)×q(x)+r(x),其中r(x)=0或degr(x)12、(x))。k¹0以f(x)=x5-2x3-2x2-3x-2,g(x)=x4-2x3-2x-1為例,求f(x)與g(x)的最高公因式。因式的性質:若設d(x)
13、f(x),d(x)
14、g(x),則d(x)
15、m(x)×f(x)+n(x)×g(x)。L.C.M的求法:因式分解法:先將各多項式因式分解,再取出最低公倍式。例如:f(x)=(x2-x+3)(x+4)(x-5)(x+1),g(x)=(x2-x+3)(2x-3)(x+6)(x-5)則f(x)與g(x)的最低公因式為(x2-x+3)(x-5)×(x+4)(x+1)(2x+3)(x+6)輾轉相除法:利用輾轉相除法,求出f(x)與
16、g(x)的H.C.F為d(x),則f(x)與g(x)的L.C.M=。原理:f(x)×g(x)=k×(f(x),g(x))×[f(x),g(x)]以f(x)=x5-2x3-2x2-3x-2,g(x)=x4-2x3-2x-1為例,求f(x)與g(x)的最低公因式。[例題1]利用因式分解,求下列多項式的H.C.F與L.C.M。f(x)=x3+6x2+11x+6,g(x)=x4+x3-4x2-4xAns:(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)(x-2)(x+3)[例題2]利用輾轉相除法求x4+x3-9x2-3x+18與x5+6x