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1、概念教学之概念应用凸函数在初等数学中的应用凸函数在初等数学中宄竟右哪些应用呢？首先，纵观历年（近两年）高考试题，会发现运用凸函数的知识去求解一些函数方面的题目，或者不等式的相关证明往往会有很多妙用。对于一个看似复杂的题目，按照通常的求法会很繁，然而，转换一下思考方法，用凸函数的知识去求解，会一目了然，化繁为简；其次，让我们再翻阅一下历年的高中数学联赛试题，会发现凸函数这一熏要知识点在解题时起了非常大的作用；凸函数的相关知识，有些甚至涉及到求解数列方面的题0等，可见其应用广泛。在大学或更深一层研宄
2、领域里，凸函数的知识更是涉及广泛，它在研究函数性态、极值、拐点、不等式证明、微分中值定理等都发挥重要作用，尤其在研宄函数性态上。下面，本文就凸函数的概念、性质，结合初等数学的相关知识，具体地来谈一谈凸函数在不等式中的应用。一般利用凸函数的知识去证明不等式，可通过以下几种途径：①考察函数的单调性或极值；②考察函数的凸性；③应用凸函数知识推导的重要公式或性质。下面我们就来看看凸函数在不等式证明中的一些应用：詹森｛Jensen｝不等式设/为［〃＞］上的凸函数，则对任意e>0（/=0，1，2,…，w），
3、=1，有/=!证：应用数学归纳法，当n=2时，由凸函数定义，显然成立。设时，命题成立，即对任意七，％2,…，e［67，/?］及at>0,/=1,2,•••,/:>=1都有人'+
4、现设xi,x2,--,xk,xk+lE[a,b]為〉0，/=1,2，."，Z:，Z:+1.，=1令a；=k卜，/=0，1，2,…人则［义=1.由数学归纳法可推得/（乂人+A2x2+…+Akxk+人.+1及+1）=./.（（I-/lA.+,）^
5、X
6、+^x2+_+^kxk+a+iX々+i）1_A+1）/（^lXl+^2X
7、2+++/（^+1）（i-A-+i）k,/U,）+“2/（易）+…+〜）1+UU川）00又0-人+1）1；―i—/U
8、）+；―/（义2）+•••+；~~—/（义）1+A+l/（^+1）这就证明了对任何正整数2),凸函数/总有上述不等式成立下面具体地来看看它的应用:例1证明不等式:a+bi(1)聰意实数以.有^^’)•(2)设〉0.G=1，2，.••，《)•有Ma'a2...a"+屮+__—n证明：(1)l§if(x)=ex.xER.由./‘(X)的一阶导数和二阶导数/*(%)=ex=e可见其在
9、xe/?中都是大于0的，所以/Cv)为严格凸函数。依詹森不等式，有a^b
10、从而e丁<-(e^eh)当且仅当u6时等号成立。(2)考察函数/(x)=-ln;v，x〉O.因为/(x)的一阶导数和二阶导数分别为f(x)=-丄，厂(x)=人.对Vx〉0,厂(x)〉0，所以/在(0,+oo)是严anlnA格凸函数。因而，对于xpx2，…，x,fe(0，+oo)，应用詹森不等式有+a2x2+…+anxn)11、%In人一“2In又2V(7,，a2，…，an>0,a}+“2+•••+(z,,=1由此得到-x^n0,<7,-ha2+•••+〜=1上式等号成立，当且仅当X,=x2=…=时。令6Z,=6?，=…=A=丄，则n得到分析：对于上述两小题的证明，倘若不借助于詹森不等式，则将无从下手或很难突破，从而可以体现出凸函数在有些不等式的证明中具有一席之地。特别是在教难的不等式证明中，如下题例2证明不等式⑽C）3&。^，其中6/，心均为正数.证明：
12、设/W=xlnx,x>O.rtl/U）的一阶导数和二阶导数分别为/,（x）=lnx+l,/H（x）=-显然广（x）〉O.U〉O）X可见，=在_x>0时为严格凸函数，依詹森不等式有rci^b+c,1"、11、/(—-—)^-/⑻+5/W+-/⑻，Il7777a+b+c,a+b+c1,,7..,、从IflJIn<—(6zIn6Z+/?In/?+cInc)故有(V^)“+/…€(6Z+/?+C)^13、赛中，往往会用凸函数去解决一些难题。另外，在中学所学的不等式中还有许多重要的不等式可以用凸函数的性质去证明、推广。例3L2矢口rz〉0,夕〉0,6r3+/?3S2.求证：a+（3<2.解：考察函数/U）=r3在（0，+oo）上的凸性，知其为严格下凸函数由Jensen不等式，得似+/?)38=/(宁)»:平+1=>（6Z+/?）3<8=>6Z+/?<2在近儿年的高考中，运用到凸函数的知识也是存的，如94,全国（文）例4己知函数/(x)=logflx，(a>09a#l,xe/?+).若xpx2e/?
