骨骼重建中的连续体结构拓扑优化.doc

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1、骨骼重建中的连续体结构拓扑优化*受国家自然科学基金委项目(10472003)、北京市自然科学基金委项目(3042002)和博士科研启动经费叶红玲隋允康倪君杰北京工业大学工程数值模拟中心yehongl@bjut.edu.cn010-67391503摘要：按照Wloff准则，骨是具有功能适应性的生物结构，在骨骼结构中骨小梁沿着主应力方向生长，即活骨的变化与其承受的应力应变相关。骨重建是维持骨组织代谢和力学功能的重要机制，是一个骨组织自我更新和自我调整的生理过程。本文借助连续体结构拓扑优化理论，将遵从Wolff法则生长的骨骼看成待优化的连续体拓扑结构，对骨骼重建进行了数值模拟和优化。利用应

2、力全局化的思想，将局部应力约束转化为全局的应变能约束问题，从而建立以重量为目标，以应变能为约束的显式优化模型，并利用对偶规划进行求解。利用PCL（PatranCommandlanguage）语言在MSC.Nastran及MSC.Patran软件平台上进行了二次开发，对骨骼重建结构进行了数值模拟分析和优化。数值算例表明了该方法的可行性与有效性。关键词：骨骼重建拓扑优化连续体二次开发1引言拓扑优化理论与方法的研究是目前结构优化领域的研究热点之一。与尺寸优化、形状优化相比，结构拓扑优化需要确定的参数更多，取得的经济效益更大，对工程设计人员更具吸引力。连续体结构拓扑优化设计是指在目标设计区域

3、上选出一个优化子集（拓扑设计变量），使其满足所有的约束条件，并使目标函数达到极小。目前代表性的方法有变厚度法、均匀化方法和变密度、渐进结构优化法、ICM（独立、连续、映射）方法[1-7]等等。结构拓扑优化理论与方法主要用于工程结构领域中，而在骨生物力学领域的应用和研究还比较少。按照Wloff准则[8]，骨是具有功能适应性的生物结构，在骨骼结构中骨小梁沿着主应力方向生长，即活骨的变化与其承受的应力应变相关。骨骼重建是维持骨组织代谢和力学功能的重要机制，是一个骨组织自我更新和自我调整的生理过程。借助拓扑优化理论对骨重建进行数值模拟，在骨质增生、骨质疏松、骨的生长过程及进化等方面的研究具有

4、重要的理论意义。本文利用应力约束全局化的方法，将局部应力约束转化为全局的应变能约束问题，建立了以结构重量为目标，以应变能为约束的骨骼重建的数学模型，利用对偶规划方法对优化模型进行了求解，对骨骼内部重建进行了定量的数值模拟和优化分析，数值结果表明了该方法的可行性与有效性。2基于ICM方法的应力约束全局化方法拓扑优化的实质是寻找最佳的传力路径。ICM[6,7]方法的实质有三点：1）提出了以一种独立于单元具体物理参数的变量来表征单元的“有”与“无”，即独立拓扑变量。2）通过构造过滤函数和磨光函数，将本质上是0-1离散变量的独立拓扑变量映射为[0，1]连续变量。3）按连续变量求解之后再把拓扑

5、变量反演成离散变量。过滤函数的引入，可以实现拓扑变量的过滤与筛选，并在按连续变量求解之后完成对拓扑变量由连续模型向离散模型的回归，而且在建模时，起到了一种对相应的单元或子域有关几何量或物理量的识别作用。分别用过滤函数和来识别单元重量、单元许用应力和单元刚度，即(1)(2)其中，分别为单元固有重量、单元固有容许应力和单元固有刚度。式中，，为常数，对于不同类型的结构，可以根据单元固有重量，单元固有许用应力和单元固有刚度之间的关系来确定，也可以通过数值实验来确定。对于应力约束，利用应力全局化的思想，将局部应力约束转化为全局的应变能约束问题，建立显式的优化模型；基于ICM方法，得到具有独立连

6、续拓扑变量的应力约束下的连续体结构拓扑优化模型(3)其中是单元拓扑设计变量向量。表示第l个工况下，第i个单元的应变能，表示第l个工况下结构的总许用应变能，为结构许用应变能修正系数，为常数。令应变能约束系数为，引入变换，，则有，于是代入(3)式，得(4)上述为可分离的规划，运用对偶理论求解该上述问题，转化为如下模型(5)其中(6)运用库恩-塔克条件，得到将二阶近似并略去常数项后的二次规划模型(7)其中调用二次规划的程序，求解即可得到。注意：对模型中或1的拓扑变量，应将其排除在求导运算之外。求出后，更新主被动变量集，进入下一轮循环，直至(8)终止迭代，得到的，再计算得到t*，然后求得(9

7、)对结构进行修改，进入下一次循环，如此迭代直至满足收敛准则　　　　　　(10)其中，及为前轮与本轮迭代的结构总重量，为收敛精度，本文取。图1几何模型3骨骼重建的数值模拟与分析基本结构为，厚度为10mm。采用四节点单元，划分为30×30个单元。股骨的弹性模量为19.6GPa，泊松比为0.3，密度为kg/mm3。在顶面施加线性递减载荷。在底边最左端的一个节点上施加6个方向的固定约束，底边其余节点上施加4个方向的约束。原结构重量为320kg，收敛精度为0.001