横观各向同性压电板精化理论的应用.doc

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1、横观各向同性压电板精化理论的应用徐思朋1王炜21中国海洋大学工程学院土木系，青岛，2661002北京大学工学院力学与空间技术系,北京,100871摘要：本文基于横观各向同性压电板弯曲问题的精化理论控制方程，分别对矩形压电板的扭转问题和含圆孔压电板的弯曲问题进行了分析。针对不同的边界条件，给出了相应物理量的解析表达式。当不计压电效应时，文中结果均可退化回弹性问题的解。关键词：压电板，精化理论，扭转，圆孔0引言由于压电介质独特的机电耦合效应，其被广泛应用于各种智能结构设计中，如换能器、滤波器、传感器、制动器等。在工程应用中，这些部件多以板或壳的形式出现，许多学者对压

2、电板进行了专门探讨。Tiersten[1]、Mindlin[2-3]、Bugdacyci[4]等将位移和电势沿板厚按级数展开的方法进行了广泛的研究。针对具体边界压电板问题，Ding[5]等用三维解析方法进行了求解。从广义E-L通解出发，不作预先假设，运用Lur’e算子理论我们得到了横观各向同性压电板的精化理论控制方程[6]。本文以此理论为基础，对矩形压电板的扭转问题和含圆孔压电板的弯曲问题进行了分析，讨论了压电效应的影响。1基本方程当板面横向载荷时，对于沿轴极化的横观各向同性压电板，若不计高阶项，其精化理论控制方程为（1）其中是中面挠度，为中面电势，而满足，这里

3、。（2）上式中、是中面上的转角，和是与材料相关的常数。相应的位移、电势分量表达式为（3）式中为材料常数。将式(3)代入本构方程，可得应力及电位移分量。2矩形压电板的扭转考虑一矩形压电板，上下表面自由，而和两边受等值反向的力偶作用而扭转，其力学边界条件为（4）其中为角点挠度的比例系数，由所加力偶决定。其它两边的力学边界条件为（5）电学边界条件为：当板四边接地（即电学短路）时（6）当板四边无外加电压（即电学开路）时（7）对第一种电学边界条件（6），可求得相应的非零应力和电位移分量为（8）对第二种电学边界条件（6），可求得相应的非零应力和电位移分量为（9）其中：，，，

4、。当不计压电效应时，即令，很显然（8）和（9）式就退化为横观各向同性弹性板的情况。特别地，当时，上述解与Saint-Venant意义下的精确解[7]完全一致。选用压电材料为PZT-6B压电陶瓷[5]，下面给出其数值算例，结果如图1-5所示。由于电势及电位移分量的表达式与类似，图3同时也反映图1沿方向的分布图2四边短路或开路时的分布图3四边开路时的分布图4四边短路时的分布了和在板面内的分布趋势。图5描述了两种电边界条件下应力分量之间的差别。图3-5表明，应力分量、和电位移分量、的分布具有明显的边界效应。图5的分布图6孔边弯矩的分布曲线3含圆孔压电板的弯曲对于带圆孔

5、的无限大压电板，在无穷远处受弯矩作用的应力集中问题。按照精化理论其边界条件在柱坐标系中可表述为（10）根据无穷远处的边界条件，可以假设控制方程中、和的解的形式。为篇幅所限，下面直接给出人们感兴趣的弯矩集中系数、应力集中系数[8]及电位移集中系数的值（11）其中，是阶第二类修正Bessel函数在处的值，而。当不计电学量及其与应力、位移的耦合作用时，该问题退化回横观各向同性弹性问题[9]。此时材料常数、可表示为（12）则（13）其中、分别为各向同性面内及横向Poisson比，为面内与横向剪切模量之比，为面内与横向杨氏模量之比，而。这里仍以PZT-6B压电陶瓷为计算对

6、象，考察压电耦合效应对集中系数的影响。计算结果如图6-8所示。对圆孔问题，由图7可以发现压电效应对弯矩集中系数（应力集中系数类似）的影响较大。可以预见对扁孔及裂纹问题，在考虑压电体应力集中问题时，压电效应更是不容忽视。图8反映出电位移集中系数对小孔径的变化比较敏感，但大孔径对其影响较小。值得注意的是，本文的结果与文[10]基于Reissner板理论结合有限元和解析法所得出的结论类似。图7弯矩集中系数随的变化曲线图8电位移集中系数随的变化曲线参考文献1Tiersten,H.F.Linearpiezoelectricplatevibrations.NewYork:P

7、lenum,19692Mindlin,R.D.Forcedthickness-shearandflexuralvibrationsofpiezoelectriccrystalplates.J.Appl.Phys.,1952,23(1):83-883Mindlin,R.D.Highfrequencyvibrationsofpiezoelectriccrystalplates.Int.J.SolidsStruct.,1972,8:895-9064Bugdayci,N.,Bogy,D.B.Atwo-dimensionaltheoryforpiezoelectricla

8、yersusedinel