横观各向同性功能梯度圆板的弹性力学解.doc

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1、横观各向同性功能梯度圆板的弹性力学解丁皓江，李翔宇，陈伟球浙江大学建筑工程学院土木系，310027Email:dinghj@zju.edu.cn;Fax:0571-87952284;Phone:0571-87952165摘要：本文利用应力函数法研究横观各向同性功能梯度（FGM）圆板的轴对称弯曲问题，板的弹性柔度系数可为厚度向坐标的任意函数。将应力函数展开成径向坐标r的幂级数，其系数为坐标z的待定函数，对于受形如(q为常数，为0或者偶数)的载荷作用下的FGM圆板，得到了待定函数的控制微分方程，并给出了其求解步骤。以受均布载荷的圆

2、板为例，阐明了具体的求解过程，得到了FGM圆板在简支和固支边界条件下的弹性力学解，且经退化得到的均匀圆板的解与已有结果一致。关键词：横观各向同性，功能梯度材料，轴对称变形，应力函数1引言由于在宏观上力学性能随空间坐标连续变化，与纤维－基体复合材料相比，功能梯度材料（FGMs）具有更优越的特点。目前，FGM在电子、化学、光学和生物医学等领域得到了广泛的应用。迄今为止，绝大部分研究都利用各种简化理论和数值方法来描述FGM板在外载荷作用下的变形。这些理论包括经典板理论[1]、Mindlin板理论[2]、三阶剪切变形理论[3]、高阶剪

3、切变形理论[4]以及高阶剪切和法向变形理论[5]。为了评价简化理论和数值方法的有效性和精度，FGM板的三维解析分析一直得到研究者的重视[6-9]。然而对FGM圆板受均布载荷这一问题的三维解析分析却鲜有研究。本文利用应力函数法研究横观各向同性功能梯度简支和固支圆板受形如(为常数，为0或者任一偶数)的载荷作用的问题，给出了一个三维解析解。5个独立的弹性柔度系数可沿圆板厚度方向任意变化。当所有弹性柔度系数等于常数时，退化得到文献中给出的均匀圆板解。2轴对称问题的基本列式对于横观各向同性材料，广义虎克定律可表示为(1)其中弹性柔度系数

4、是的函数，即；对于均匀材料有。各应变分量之间需满足如下协调方程(2)应力函数解法是一种常用的解析方法，对于轴对称静力问题，可引入两个应力函数和[10](3)这样平衡方程便可自动满足。3应力函数及其确定对于如图1所示半径为，高度为，在受到横向载荷(q为常数，为0或者偶数)作用的FGM圆板，可证明相应的应力函数可取为(4)本文中我们也称和为应力函数，它们是坐标的函数。此时应力和位移的表达式为(5)(6)式中为积分常数。aoh/2h/2z…图1FGM圆板受横向载荷示意图由协调方程，令两边的同次幂的系数相等，可得应力函数的控制方程为(

5、7)(8)(9)相应的边界条件为(10)式中为Kronecker符号。逐次积分式(7)和(8)的个方程，并利用式(10)的两的边界条件，可以得到个应力函数的显式积分式，其中包含的个积分常数也将被完全确定。最后由式(9)积分得到，其中包含两个积分常数和。可以看到应力分量和与和无关，应力分量和只与组合有关，因此一旦被确定，全部应力分量就被完全确定，不需要单独求取和。位移中含有的3个积分常数，和，可由柱面边界处（）的边界条件确定。对于简支，有(11)其中径向合力和弯矩的定义为(12)对于固支有(13)或者(14)例如，对于简支圆板受

6、均布荷载q作用的问题，我们可得应力和位移表达式为(15)(16)式中和为确定的常数，而、和，且(17)(18)由式(15)可以看出:(1)应力分量和仅与和相关，而与、和无关，即柱面边界条件对和没有影响；(2)仅是变量的函数，与r无关；(3)在处，径向应力等于环向应力。另外，从式(16)看到:在处，径向位移，符合轴对称问题的物理本质。4退化分析及算例如果令(19)则本文的结果就退化为各向同性材料的相应结果，这里和分别是各向同性材料的杨氏模量和泊松比。对于均匀各向同性材料，和是常数，则式(15)中的可退化为(20)如果令，我们发现

7、上述结果与Timoshenko和Goodier[11]给出的结果一致。-2-1.5-1-0.50-0.5-0.2500.250.5l＝0l＝2.5l＝10Sxzz图2剪应力沿厚度方向的分布考虑半径为m，高度为m的FGM圆板受均布载荷N/m2的作用，其弹性模量沿厚度按下述规律变化(21)其中为梯度指标，GPa和GPa分别为钛和锆的杨氏模量；而泊松比保持不变，为。图2给出了处的无量纲剪应力沿板厚度的分布，可以看到均匀材料()对应的剪应力沿厚度抛物线分布且在中面处的绝对值最大；当材料非均匀(或10)时，最大剪应力偏离了中面。致谢本文

8、工作得到了国家自然科学基金（10472102，10432030）和新世纪优秀人才支持计划（NCET-05-05010）的资助。参考文献[1]ChiSH,ChungYL.(2006)Mechanicalbehavioroffunctionallygradedmaterialpl