含随机参数的Duffing系统在周期脉冲激励及谐和激励作用下的分岔.doc

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1、含随机参数的Duffing系统在周期脉冲激励及谐和激励作用下的分岔孙晓娟1,2陆启韶1徐伟21北京航空航天大学理学院2西北工业大学应用数学系[摘要]本文讨论含有界随机参数的Duffing系统在脉冲激励和谐和激励联合作用下的随机对称破裂分岔和随机倍周期分岔现象。首先应用Chebyshev正交多项式将随机Duffing系统化为等价确定性系统，而后通过等价确定性系统来讨论原随机参数系统的随机分岔。数值结果表明正交多项式逼近法是讨论谐和激励和脉冲激励联合作用下的单自由度随机参数系统动力学行为的一种有效方法。[关键词

2、]正交多项式随机对称破裂分岔随机倍周期分岔BifurcationofDuffingSystemwithBoundedRandomParametersunderPeriodicImpulsiveForceXiaojuanSun*QishaoLuWeiXu*Schoolofscience,BeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Beijing,China,100083Email:sxiaojuan@ss.buaa.edu.cn[Abstract]Stochas

3、ticbifurcationinaDuffingsystemwithboundedrandomparametersandsubjecttobothharmonicandperiodicimpulsiveexcitationsisstudiedinthispaper.FirstlytherandomsystemisreducedtoitsequivalentdeterministiconebytheChebyshevpolynomialapproximation,throughwhichtheresponse

4、softherandomsystemcanbeobtainedbydeterministicnumericalmethods.NumericalresultsshowthattheChebyshevpolynomialapproximationisaneffectiveapproachinsolvingdynamicalproblemsofsingle-freedomnonlinearsystemwithrandomparametersunderbothharmonicandperiodicimpulsiv

5、eexcitations.[keyword]Chebyshevpolynomial,stochasticsymmetry-breakingbifurcation,stochasticperiod-doublingbifurcation许多学者研究了耦合Duffing系统的动力学问题，如分岔[1,2]和同步[3]等等。此外，一些研究表明不同类型的扰动和外部激励对于系统的影响是巨大的，它们可能会使系统的动力学行为发生巨大的变化。典型的脉冲激励(impulsiveforce)对时间是不连续的，不像常数激励、谐和激

6、励和噪声激励等这些激励对时间是连续的。实际中，为了考虑周期效应对于食物供应、天气条件等的影响，许多生物系统模型都受这类脉冲激励的作用[4,5]。本文讨论含有界随机参数Duffing系统在脉冲激励和谐和激励联合作用下的随机对称破裂分岔和随机倍周期分岔现象。首先应用Chebyshev正交多项式将随机Duffing系统化为等价确定性系统，而后通过等价确定性系统来讨论原随机参数系统的随机分岔现象。随机Duffing系统的Chebyshev多项式逼近本文讨论含有界随机参数的Duffing系统(1)其中，，，是随机变量

7、，且，是随机变量的均值，是服从拱形分布的随机变量。本文取或，这时的取值如图1所示。显然，系统(1)的响应是时间和随机变量的函数，即图1脉冲激励随时间的变化图由随机函数的正交分解[6]，可将其分解为如下级数的形式其中，为第个Chebyshev多项式。实际计算中，根据计算精度的要求，取有限项近似，即这里取，即(2)将(2)代入(1)中，有(3)而(3)式中的非线性项可以利用Chebyshev多项式的循环递推关系及一些简单的代数运算将它们转化为的线性组合的形式。类似文献[6]，定义非线性项关于的线性组合中的系数分

8、别，则(4)再由循环递推公式，得(5)将方程(4)、(5)代入方程(3)中,得(6)上式两边同时乘以，，再关于取数学期望，由Chebyshev多项式的正交性，就可以得到一组关于的，与随机Duffing方程(1)在最小均方残差(minimalmeansquareresidual)意义下等价的确定性非线性微分方程组(7)实际计算中，所得的响应是一个逼近响应，故及可以取为零。这样可得三个不同系统：均值参数系统、等价确定