复数与复变函数1

《复数与复变函数1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第1章复数与复变函数§1复数§1.1.1复数的基本概念设，为两个任意实数，称形如的数为复数，记为，其中满足，称为虚数单位.实数和分别称为复数的实部和虚部，记为，.各数集之间的关系可表示为设与是两个复数.如果，则称与相等.由定义可得：.设是一个复数，称为的共轭复数，记作.显然，.如：§1.1.2复数的四则运算设复数，，定义与的四则运算如下：加法：减法：乘法：除法：如：复数满足四则运算规律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对于加法的分配律.共轭复数的运算性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）为实数.例1化简.解：.例2设，求及.解：所以例3设是

2、任意两个复数，求证：证：利用公式可得§1.1.3复平面一个复数可唯一地对应一个有序实数对，而有序实数对与坐标平面上的点是一一对应的.所以，复数全体与坐标平面上的点的全体形成一一对应.即我们把坐标平面上的横坐标记为实轴，纵坐标记为虚轴，这样整个平面可称为复（数）平面.今后将复数与复平面的点不加区分.图1.1图1.2由图示：复数在复平面上即是点，而点可由向量来表示（如图1.1）,与分别是在轴与轴上的投影.复数与关于实轴对称（如图1.2）.§1.2复数的三角表示§1.2.1复数的模与辐角复数的模如图1.1中的向量的长度称为复数的模，记作或，即复数的辐角设复数对应的向量为（如图

3、1.1）,与实轴正方向所夹的角，称为复数的辐角,记作，即.并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.用记号表示的所有辐角中介于与之间（包括）的那一个角，并称它为的主辐角，即.从而我们可以用反正切函数来刻画.由定义我们有：.复数的三角表示式称为复数的三角表示式.例1求和.解例2求的三角表示式.解因为,所以设则又因为位于第II象限，所以,于是1.1.4.复数的幂与根1.复数的乘幂设为正整数，个非零相同复数的乘积，称为的次幂，记为，即若，则有当时，得到著名的棣莫弗（DeMoivre）公式例7求.解因为所以例8已知，求.解因为所以2.复数的方根称满足方程的复数为的次方根，

4、记作，或记作.且例1解方程.解因为所以可求出6个根，它们是例2特别的，当时，例3计算解因为所以即第1章复数与复变函数1.2区域1.2.1.复平面上的点集与区域扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.有限复平面不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面.邻域平面上以为心，为半径的圆：内部所有点的集合称为点的—邻域，记为，即称集合为的去心—邻域，记作.开集如果点集的每一个点都是的内点，则称为开集.闭集如果点集的余集为开集，则称为闭集.连通集设是开集，如果对于内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于，则称开集是连通集.区域（或开区域）连通的开集称为区

5、域或开区域.闭区域开区域连同它的边界一起，称为闭区域，记为.1.2.2单连通域与多（复）连通域1.简单曲线、简单闭曲线若存在满足，且的，使,则称此曲线C有重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jordan）曲线；除外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，是一条简单闭曲线（如图1.9）.图1.9在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的是简单曲线，是简单闭区域，图1.11中的，不是简单曲线，但是闭曲线.图1.10图1.112.光滑曲线、分段光滑曲线设

6、曲线的方程为若，在上可导且，连续不全为零，则称曲线为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.3.单连通域、多连通域设是复平面上一区域，如果在内任作一条简单闭曲线，其内部的所有点都在中，则称区域为单连通区域；否则称为多连通区域或复连通区域.在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12）.图1.12第1章复数与复变函数1.3复变函数1.3.1复变函数的概念定义1设为给定的平面点集，若对于中每一个复数，按着某一确定的法

7、则，总有确定的一个或几个复数与之对应，则称是定义在上的复变函数（复变数是复变数的函数），简称复变函数，记作.其中称为自变量，称为因变量，点集称为函数的定义域.例1将定义在全平面上的复变函数化为一对二元实变函数.解设，，代入得比较实部与虚部得，例2将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数，（）化为一个复变函数.解设，，则将，以及代入上式，经整理后，得1.3.2映射的概念如果复数和分别用平面和平面上的点表示，则函数在几何上，可以看成是将平面上的定义域变到平面上的函数值域的一个变换或映射，它将内的一点变为内的一点（如图1.13）.图1.13