复数及复变函数1

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1、复变函数与积分变换教材:《复变函数与积分变换》朱传喜刘二根主编,江西高校出版社参考教材：1.《复变函数》,西安交通大学高等数学教研室编著,高等教育出版社2.《复变函数与拉普拉斯变换》,金忆丹编著,浙江大学出版社3.《复变函数与积分变换》,马柏林等编复旦大学出版社复变函数与积分变换课程性质:考查平时成绩占总评100%平时成绩构成:考勤20%作业10%学习态度10%测验60%最后一周的上课时考查注:上届48人不及格第一章复数及复变函数§1.1复数及其运算§1.2复平面的几何表示§1.3复数的乘幂与方根§1.4复平面上

2、的点集§1.5复变函数§1.6复变函数的极限与连续§1.1复数及其运算一、复数的概念二、复数的四则运算三、复数的共轭运算5一、复数的概念1.虚数单位:对虚数单位的规定:6虚数单位的特性:……72.复数:8两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.9二、复数的四则运算1.两复数的和:2.两复数的积:3.两复数的商:10实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共

3、轭复数.例2解三、复数的共轭运算115.共轭复数的性质:以上各式证明略.12例1解§1.2复数的集合表示一、复平面二、复球面与无穷远点14一、复平面1.复平面的定义152.复数的模(或绝对值)显然下列各式成立163.复数的辐角说明辐角不确定.17辐角主值的定义:184.利用平行四边形法求复数的和差两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.195.复数和差的模的性质20利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式欧拉介绍6.复数的三角表示和指数表示21

4、例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为指数表示式为22故三角表示式为指数表示式为下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.23例2解所以它的复数形式的参数方程为24所以它的复数形式的参数方程为异常重要25例3求下列方程所表示的曲线:解方法二：26化简后得27二复球面与无穷远点1.南极、北极的定义28球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定:复

5、数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作∞.因而球面上的北极N就是复数无穷大∞的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.2.复球面的定义293.扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数∞来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.3031注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对

6、应,所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈．§1.3复数的乘幂与方根一、乘积与商二、乘幂与方根33一、乘积与商定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.证34两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应的向量分别为[证毕]35说明由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.例如，36由此可将结论推广到n个复数相乘的情况:37定理二两个复数的商的模等于它们

7、的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.证按照商的定义,[证毕]381.n次幂:二、乘幂与方根39棣莫佛公式棣莫佛介绍推导过程如下:2.棣莫佛公式40根据棣莫佛公式,41当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.42从几何上看,43例1解44即§1.4复平面上的点集一、开集与闭集二、区域三、曲线46一、区域的概念1.邻域:说明472.去心邻域:说明483.内点:4.开集:如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.495.区域:如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；

8、(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.6.边界点、边界:设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.50D的所有边界点组成D的边界.说明(1)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.(2)区域D与它的边界一起构成闭区域51以上基本概念的图示区域邻域边界点边界7.