1 复数与复变函数 (2014)

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1、湖南师范大学工学院电子系-课程讲义复变函数与积分变换2014•秋

2、2014年9月23日星期二

3、©Copyright湖南师大2006湖南师范大学工学院电子系-课程讲义主要教学内容第1章复数与复变函数第2章解析函数第3章复变函数的积分第4章复变函数的级数表示第5章留数及其应用第6章共形映射（略）第7章解析函数在平面场的应用（略）第8章傅里叶变换第9章拉普拉斯变换22©Copyright湖南师大2006复变函数与积分变换湖南师范大学工学院电子系-课程讲义第1章复数与复变函数本章主要内容：§1.1复数§1.2复数的三角表示§1.3平面点集的一般概念§1.

4、4无穷大与复球面§1.5复变函数33©Copyright湖南师大2006复变函数与积分变换湖南师范大学工学院电子系-课程讲义§1.1复数本节主要内容：§1.1.1复数的基本概念§1.1.2复数的四则运算§1.1.3复平面44©Copyright湖南师大2006复变函数与积分变换湖南师范大学工学院电子系-课程讲义§1.1.1复数的基本概念复数设x，y为两个任意实数，称形如z=x+iy的数称为复2数。其中i满足i=−1，称为虚数单位.实数x和y分别称为复数z的实部（Real）和虚部（Imaginary），记为x=Rezy=Imz当时x=，0,称y为

5、≠=0纯虚数z；iy当时y=，0,将其zx看=作是实数x.有序数对：z=(,)xy有序指当xy时≠≠，(,)(,)xyyx55©Copyright湖南师大2006复变函数与积分变换湖南师范大学工学院电子系-课程讲义§1.1.1复数的基本概念复数相等两个复数相等,是指的它的实部和虚部分别相等.共轭复数设z=x+iy是一个复数，称xiy−为z的共轭复数，记作z。()zz=66©Copyright湖南师大2006复变函数与积分变换湖南师范大学工学院电子系-课程讲义思考：复数能不能比较大小？解：不能。观察复数i和0，由复数的定义可知i≠0，（1）若i

6、>0,则i·i>0·i,即-1>0,矛盾；（2）若i<0,则i·i>0·i,即-1>0,矛盾；由此可见，在复数中无法定义大小关系。77©Copyright湖南师大2006复变函数与积分变换湖南师范大学工学院电子系-课程讲义§1.1.2复数的四则运算复数加、减、乘、除运算设复数z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，定义z1与z2的四则运算如下：-加法z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)-减法z1−z2=(x1−x2)+i(y1−y2)-乘法z1z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)zx+iyxx+yyxy−xy-除法11

7、112122112==+i(z≠0)22222zx+iyx+yx+y222222288©Copyright湖南师大2006复变函数与积分变换湖南师范大学工学院电子系-课程讲义§1.1.2复数的四则运算复数加、减、乘、除运算-除法称满足zzzz122=⋅≠(0)的复数z=x+iy为z1除以z2的商。x1122+=+iy(xiy)(xiy+)=−++(xx22yy)(ixy22xy)根据两个复数相等的定义，得到：x=xx−=yyyxy+xy122122xx+−yyxyxy解得：12122112xy=,=2222xy++xy2222zx+iyxx+y

8、yxy−xy11112122112==+i(z≠0)22222zx+iyx+yx+y222222299©Copyright湖南师大2006复变函数与积分变换湖南师范大学工学院电子系-课程讲义§1.1.2复数的四则运算复数加、减、乘、除运算-除法分式的分子和分母同乘一数，zx+iy111=分式值不变。该结论可方便用zx+iy于复数除法的演算。222zzz(x+−iy)(xiy)1121122==zzz(x+−iy)(xiy)2222222xx+−yyxyxy12122112=+≠iz(0)22222xy++xy22221010©Copyright

9、湖南师大2006复变函数与积分变换湖南师范大学工学院电子系-课程讲义§1.1.2复数的四则运算复数的四则运算规律z+z=z+z-加法交换律1221-乘法交换律z1⋅z2=z2⋅z1-加法结合律z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3-乘法结合律z1(z2⋅z3)=(z1⋅z2)z3-乘法对于加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z31111©Copyright湖南师大2006复变函数与积分变换湖南师范大学工学院电子系-课程讲义§1.1.2复数的四则运算共轭复数的运算性质z=z()zzzz1212±=±22()zz⋅=⋅zzzz=[R

10、ez]+[Imz]1212zzzz+−zz(11)=(z≠0)Rezz=,Im=222izz22zzz=⇔是实数1212©Copyrig