第1章复数与复变函数

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1、第1章复数与复变函数1.1复数及复平面1-1若（是正整数），则（）.（A）（B）（C）（D）解由知，因此为实数，故.选（B）时1-2（）.（A）（B）（C）2（D）解由及知，等式中两项皆为1.选（C）1-3（）.（A）（B）（C）（D）解故选（C）本题容易错选(A)项，因为得错在应加上绝对值.1-4（）.（A）（B）（C）（D）2解由而当时，，故最大值为2.选（D）用不等式确定最大值是常用方法.1-5对任意复数，证明不等式证1故，同理即也就是证2（代数法）设则只要证即只要证（1）只要证此不等式等价于由于皆是实数，上式左边是完全平方式，故此不等

2、式成立，也就是7成立，以下同证1.证3（三角法）.设则即成立，以下同证1.1-6当时，求的最大与最小值，是正整数，是复常数.解1（代数法）.由1-5题知.我们知道，当，且向量与夹角为0°时右边不等式等号成立.故的最大值是对左边不等式，要分情况讨论.（1）若，则等号当且与方向相反时成立.这时最小值是（2）若，则由，当时等号成立，最小值为0.总之，不论为何复数，的最大值是；而当时，最小值为.当时，最小值为0.解2（几何法）.我们仅就加以证明.由知。即是闭单位圆上一点.表示点到点的距离.很明显（初等几何）当位于如图1.2的的位置时，与距离最大，且最

3、大值就是；当位于点时，最小，最小值为.的情况请读者自己研究.1-7若，且证明以为顶点的三角形是正三角形.证1记，则

4、得同样即得命题得证.证2设因而有即不妨设则于是即同理，，说明在圆周上且与的度数均为所以为顶点的三角形是正三角形.1-8证明复数形式的柯西（Cauchy）不等式：7证对任意个复数，由三角不等式.知（见1-5题）.再由关于实数的柯西不等式得说明它的几何意义。1-9若复数满足等式证明证由已知等式取模可得（1）又由已知等式知即，从而有（2）（1）、（2）两式相比得故，代入（1）即可得所要证明的结论：1-10设实数，求下面级数的和.（1

5、）（2）解记于是故（1）（2）1.2复变函数、极限与连续性一个复函数可以看作是从平面到平面上的一个映射（也可称为变换）.1-11已知映射，求（1）圆周的像；（2）直线的像；（3）区域的像.解（1）是面上以原点为圆心，为半径的圆周.7（2）则像是直线（3）先看直线的像.,则是以为圆心，为半径的偏心圆，而由的像是，在圆外部，因此，的像是圆的内部，即.1-12设则（）.（A）时，连（B）时，连续（C）时，连（D）不论为何值，在处均不连续解记，则故当时考虑，令，得时极限不同故0时，极限不存在.因此，不论取何值，在处不连续.选（D）.相当于用极坐标研究

6、二元函数的极限.1-13求极限：解原极限=复函数的极限与实二元函数极限的关系.即与两问题是等价的.1-14证明定理：设则的充要条件是及证必要性.由知，对任意，只要便有这时7即及.充分性.对，存在只要便有（1）又存在只要便有（2）成立.取，因此，只要，（1）、（2）便成立，由三角不等式成立.即本问题的逆问题成立吗？1-15设，证明证对，存在，只要，便有成立.即本题证明方法与证明二元实函数极限不存在的方法相同。1-18证明在（0，0）点的极限不存在.证1设，则，故在点的极限不存在.证2记，则，当时，由不存在，知此函数在极限不存在.1-16证明在负

7、实轴上不连续。证无意义，故不连续.设则而因此，在负实轴上任一点处的极限均不存在，即对任意不存在，故不连续.用复数指数形式可将这种和变为等比数列之和.而且，往往是一次便求得两个和.1-17求和（1）（2）解7以上实部即本题（1）的结果，虚部是（2）的结果.即（1）（2）注意：、、是点，而是平面向量。1-18证明三点、、构成正三角形顶点的充分必要条件是证必要性.设是正三角形.则必有这是因为的模相等，且夹角相等.即即充分性.由得取模易得即三角形三边相等，为正三角形.这也是一般二元实函数的重要性质。1-19证明：若在有界闭集上连续，则必有界.证设在上

8、连续，则均在上连续，从而连续，因而有界，即存在正数，使成立.这都是二元实函数在有界闭集上的重要性质。1-20证明：若在有界闭集上连续，则在上能达到其最大值与最小值.证如上题.由在上连续，故能达到最大、最小值.即存在及而7使对任意，皆有不等式成立.7