2018年高考数学二轮复习专题04导数及其应用教学案理

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1、专题04导数及其应用高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测2018年高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．1．导数的定义f′(x)＝＝.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①c′＝0(c为常数)；　　②(xm)′＝mxm－1；③(sinx)′＝cosx;④(co

2、sx)′＝－sinx；⑤(ex)′＝ex;⑥(ax)′＝axlna；⑦(lnx)′＝；⑧(logax)′＝.(2)导数的四则运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③[]′＝.④设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′uu′x.4．函数的性质与导数在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．5．利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的上、下限；④运

3、用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a0时，S＝f(x)dx；②当f(x)<0时，S＝－f(x)dx；③当x∈[a，c]时，f(x)>0；当x∈[c，b]时，f(x)<0，则S＝f(x)dx－f(x)dx.72考点一　导数的几何意义及应用例1、(1)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.答案：1(2)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与

4、曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析：基本法：令f(x)＝x＋lnx，求导得f′(x)＝1＋，f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.设直线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1的切点为P(x0，y0)，则y′

5、x＝x0＝2ax0＋a＋2＝2，得a(2x0＋1)＝0，∴a＝0或x0＝－，又ax＋(a＋2)x0＋1＝2x0－1，即ax＋ax0＋2＝0，当a＝0时，显然不满足此方程，∴x0＝－，此时a＝8.速解法：求出y＝x＋lnx在(1,1)处的切线为y＝2x－1由得ax2＋a

6、x＋2＝0，∴Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8或a＝0(显然不成立)．答案：8【变式探究】设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)A．0B．1C．2D．3解析：基本法：y′＝a－，当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.答案：D考点二　导数与函数的极值、最值例2、(1)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　)A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)72C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)解析：基本法：a＝0时，不符合题意．a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x

7、2＝.若a＞0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意．则a＜0，由图象结合f(0)＝1＞0知，此时必有f＞0，即a×－3×＋1＞0，化简得a2＞4，又a＜0，所以a＜－2，故选C.速解法：若a＞0，又∵f(0)＝1，f(－1)＝－a－2＜0，在(－1,0)处有零点，不符合题意．∴a＜0，若a＝－，则f(x)＝－x3－3x2＋1f′(x)＝－4x2－6x＝0，∴x＝0，或x＝－.此时f为极小值且f＜0，有三个零点，排除D.答案：C(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x

8、)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0解析：基本法：由三次函数的值域为R知，f(x)＝0必有解，A项正确；因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象可由y＝x3平移得到，所以y＝f(x)的图象是中心对称图形，B项正确；若y＝f(x)有极值点，则其导数y＝f′(x)必有2个零点，设为x1，x2(x1＜x2)，则有f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3(x