资源描述：
《线性方程组求解问题的探究及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、线性方程组求解问题的探究及其应用摘要线性方程组是线性代数中的一块核心内容。关于其求解问题，从判定到解法，其中所蕴含的思想方法灵活且多样。本文则主要侧重于方法的探究。针对线性方程组求解问题的几个方面，进行系统地归结。并结合代数、几何以及实际应用几个方面加以延拓，继而加深对线性方程组求解问题的理解。关键词线性方程组齐次线性方程组非齐次线性方程组行列式矩阵秩线性方程组是线性代数屮一块重要的内容，其屮所蕴含的思想方法涉及的面也非常之广泛。它有效地将代数、矩阵、行列式等知识点融合在一起，并结合各知识点作进一步延展。而这在一定程度上
2、，也决定了其方法的多样化与灵活性。关于线性方程组求解问题，以下则从可解性的判定着手探究，并在此基础上对解法作进一步地归纳与整合。而在这之前，先对于线性方程组的表述方式作一个初步地了解。以下从三个角度进行分类，可分别表述为代数方程形式、向量型、矩阵型。1・几类常见表述形式1.1代数方程形式a2X+色2兀2+…+a2nXn=E1.2向量型不妨将其系数用列向量来表示,/、。21■■■,。2=/。22■■■/a2n■■■,B=b2■■■5丿(Gm>心丿令则方程可转化成©兀1+偽兀2+…+。后=B1.3矩阵型可以将线性方程
3、组中的系数写成矩阵形式，即令XB=(b,b2，・・・,bj那么，方程组可写成形如AX=B的形式。以上则是对于线性方程组的表述形式所作的一些初步了解，下面进一步从求解问题的方法着手。在求解问题之前，第一步往往需要对于线性方程组的可解性进行适当的判定，而这里则涉及到线性方程组解存在的条件。结合其性质特点以及相关定理，并具体从两方面着手，归结如下：2.线性方程组解存在的条件2.1非齐次线性方程组解的存在性判定类似AX=B的线性方程组，其解的可能性我们一般可以分为：无解、有解；而当方程组有解时，又可分为可能存在唯一解，也可能有
4、无穷个解。那么，要判定其解的可能性，具体又将如何着手？这是一个关键。而在通常的解题过程中，相对来说较为典型的则是结合相应的系数矩阵，以及增广矩阵A=[AB]的秩等其他条件进行综合判别。2.1.1当秩（A）=r=秩伍）时，那么AX=B有解。进一步分情形讨论：1）当r=n时（n为未知数的个数），则AX=B有唯一解；注：特别当未知数的个数与方程的个数相等（加二“）时，若zn,则系数行列式
5、A
6、HO,并可推得AX=B有唯一解。2）当时，那么AX=B有无穷多个解。2.1.2当秩（A）H秩（A）时，那么AX=B无解。结合例题具体阐释
7、：例假设有非齐次线性方程组勺1兀1+ai2x2+・・・+ainxn（勺=1,2,…,〃），且该系数行列式
8、A
9、=0，问：此方程组是否有解？解析不一定。•・•在此条件下，该方程组通常会有这样两种情况，分别为：①假如A的秩二入的秩＜〃（因为
10、A
11、=0,所以A的秩＜/?-!）时，则可知该方程组有无穷多个解;3兀］+3兀2+2兀3=1例如"兀］+卷_阳=26x,+6x2+4x3=2332贝
12、J有
13、A
14、=11-1=0,但丫(A)=丫伍)=2v〃=3,664故可以推知该方程组的解有无穷多个。②假如A的秩北入的秩时，则可推知该方程组无
15、解。3%］+兀2=1例女nv州+吃+兀=o+3兀2+2兀3=-1310贝I］有
16、A=111=0,而丫(A)=2hY(A)=3532故方程组无解。・・・该方程组在
17、A
18、=0的条件下，不一定有解。例设有这样一个方程组1a1,它有无穷多个解，因此，其中的Q应当取何值?解：•・•方程组有无穷多个解,则Y(A)=Y(A)<3从而A=(d+2)(d—l)2解得ci--2或°=1,_1111__i11r若a=1,则A=1111T0001111-20000此时T（A）=1^Y（A）=2,方程组则无解.・•・得到a取值为-2补充在实际应用
19、中，有时也根据向量B是否能够用A的列向量组线性表示，来判定AX=B是否有解。31写出能使得方程组2410675V=B有解的所有列向量B。32®解要使得方程组有解，则B可表示成系数矩阵中各列向量的线性组合。31202+kr4+«7+山510632即所求的列向量B二«*也，2为任意数2.2齐次线性方程组的解存在性判定一般来说，齐次线性方程组可以表示成AX二0的形式，与此同时，也可将其理解为非齐次线性方程组AX=B的特别情况（即B=0）o由非齐次线性方程组的判定法可以推知，齐次线性方程组AX=0—定有解（且至少有零解），所以它
20、的解只有两种情形。即在AX=0中，A为矩阵，其解的情况具体如下:1）当秩（A）=n（斤为未知数的个数）时，贝ijAX=0仅有零解。2）当秩（A）＜n吋，则存在无穷多个解，换言之，即方程组有非零解。思路点拨：（i）要证AX=0只有零解，则只需证系数矩阵A的秩与未知数的个数刃相等，或者证A的各个列向量Z间是线性无关。特别
