“动态问题”求解探究

《“动态问题”求解探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、“动态问题”求解探究　　[摘要]　　动态问题变化形式多样，综合性强，教学中教师应抓住数形结合思想和分类讨论思想，揭示变量与变量，变量与不变量之间的关系，让学生学会解决动态问题。　　[关键词]　　动态问题;数形结合;分类讨论　　动态问题是应用数学中的一个重要的部分，其变化形式多样，根据不同的变化情况可归纳为动点、动线、动形三种类型。它的综合性强，是对学生的综合能力、思维能力、创新能力的综合考查，在考试中常以压轴题的形式出现。因为这类问题思维跨度大，而且还需要有动与静的辩证思考等等，学生觉得难度大。因此要让学生掌握，就应教给学生解决

2、问题的思想方法，采用“动静结合，以静制动”等思维方法，揭示变量与变量，变量与不变量之间的关系，揭示动态问题背后蕴含着核心的数学思想――数形结合思想和分类讨论思想，从而达到掌握解题思路及探究方法。　　一、动点问题　　（一）动点形成函数问题　　例1.如图，点P是□ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）。7　　分析：分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动，△BAP的面积不变;点P沿C→B的路径移动，△BAP

3、的面积逐渐减小，据此选择即可。　　本题主要考查了动点问题的函数图象，注意分段考虑。解决问题的关键在于利用画图，结合分类讨论思想，将问题分解成几个“静态”问题，由“动”转化为“静”求解。　　（二）动点形成最值问题　　例2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3m）（其中m>0），顶点为D。　　（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）;　　（2）如图，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标

4、x之间的函数关系式及S的最大值;　　（3）分析：①利用交点式求出抛物线的解析式;　　②先求出S的表达式，再根据二次函数的性质求出最值;　　本题考查了函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等知识点。第（2）问重点考查了图形面积的计算方法;运用数形结合、函数及方程思想是解题的关键。　　（三）动点形成的存在性问题　　7例3.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C。若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动

5、。　　（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标;　　（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标;若不存在，请说明理由。　　分析：①将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标。　　②等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ。借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后，利用勾股定理易得E坐标。　　本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形等知识，运用数形结合、分类讨论及

6、方程思想是解题的关键。　　二、动线问题　　例4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm。点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t>0）。　　（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形;　　（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求

7、线段BP的长;　　（3）是否存在某一时刻t，使△7PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值;若不存在，请说明理由。　　分析：①如图1所示，可证明AE=ED=DF=FA;　　②如图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解;　　③如图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解，其中第一种情况不存在。　　本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型。第（1）问考查了菱形的判别方法;第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类

8、讨论的数学思想。　　三、动形问题　　抓住变量与不变量，探索平移、旋转和翻折等几何图形变换的解决方法。　　（一）几何图形的平移变换　　例5.如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.沿斜边AB边上的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和