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时间:2019-01-12
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1、“动态问题”求解探究 [摘要] 动态问题变化形式多样,综合性强,教学中教师应抓住数形结合思想和分类讨论思想,揭示变量与变量,变量与不变量之间的关系,让学生学会解决动态问题。 [关键词] 动态问题;数形结合;分类讨论 动态问题是应用数学中的一个重要的部分,其变化形式多样,根据不同的变化情况可归纳为动点、动线、动形三种类型。它的综合性强,是对学生的综合能力、思维能力、创新能力的综合考查,在考试中常以压轴题的形式出现。因为这类问题思维跨度大,而且还需要有动与静的辩证思考等等,学生觉得难度大。因此要让学生掌握,就应教给学生解决
2、问题的思想方法,采用“动静结合,以静制动”等思维方法,揭示变量与变量,变量与不变量之间的关系,揭示动态问题背后蕴含着核心的数学思想――数形结合思想和分类讨论思想,从而达到掌握解题思路及探究方法。 一、动点问题 (一)动点形成函数问题 例1.如图,点P是□ABCD边上一动点,沿A→D→C→B的路径移动,设P点经过的路径长为x,△BAP的面积是y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是()。7 分析:分三段来考虑点P沿A→D运动,△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动,△BAP的面积不变;点P沿C→B的路径移动,△BAP
3、的面积逐渐减小,据此选择即可。 本题主要考查了动点问题的函数图象,注意分段考虑。解决问题的关键在于利用画图,结合分类讨论思想,将问题分解成几个“静态”问题,由“动”转化为“静”求解。 (二)动点形成最值问题 例2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点为A(-3,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,-3m)(其中m>0),顶点为D。 (1)求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示); (2)如图,当m=2时,点P为第三象限内的抛物线上的一个动点,设△APC的面积为S,试求出S与点P的横坐标
4、x之间的函数关系式及S的最大值; (3)分析:①利用交点式求出抛物线的解析式; ②先求出S的表达式,再根据二次函数的性质求出最值; 本题考查了函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等知识点。第(2)问重点考查了图形面积的计算方法;运用数形结合、函数及方程思想是解题的关键。 (三)动点形成的存在性问题 7例3.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(-1,0),与y轴交于点C。若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动
5、。 (1)求该二次函数的解析式及点C的坐标; (2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由。 分析:①将A,B点坐标代入函数y=x2+bx+c中,求得b、c,进而可求解析式及C坐标。 ②等腰三角形有三种情况,AE=EQ,AQ=EQ,AE=AQ。借助垂直平分线,画圆易得E大致位置,设边长为x,表示其他边后,利用勾股定理易得E坐标。 本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形等知识,运用数形结合、分类讨论及
6、方程思想是解题的关键。 二、动线问题 例4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm。点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0)。 (1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形; (2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求
7、线段BP的长; (3)是否存在某一时刻t,使△7PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由。 分析:①如图1所示,可证明AE=ED=DF=FA; ②如图2所示,首先求出△PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解; ③如图3所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解,其中第一种情况不存在。 本题是运动型综合题,涉及动点与动线两种运动类型。第(1)问考查了菱形的判别方法;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类
8、讨论的数学思想。 三、动形问题 抓住变量与不变量,探索平移、旋转和翻折等几何图形变换的解决方法。 (一)几何图形的平移变换 例5.如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.沿斜边AB边上的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和
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