2016考研数学高数重要定理汇总

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1、2016考研数学：高数重要定理汇总导数与微分1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点X0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h->-O)[f(xO+h)-f(xO)]/h及右极限Hm(h->+O)[f(xO+h)-f(xO)]/h都存在且相等，即左导数f-'(xO)右导数f+'(x0)存在相等。2、函数f(x)在点x0处吋导=〉函数在该点处连续;函数f(x)介:点x0处连续矣〉在该点N'导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条什。3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数足原函数导数的倒数。4、函数f(x)在点xO处可微=〉函数

2、在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可异。函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)>Kl则函数f(x)4:定义域i:有下界，K1为下界;如果冇f(x)^K2,则冇上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内冇界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列｛xn｝不能同时收敛于两个不同的极限。定理(收敛数列的奋界性)如果数列⑽｝收敛，那么数列｛xn｝—定旮界。如果数列无界，那么数列｛xn｝—定发散;但如果数列Un｝有界，却不能断定数列｛xn｝—定收敛，例如数列1，-1，1,-1，(-1>+1

3、…该数列冇界但是发散，所以数列冇界足数列收敛的必要条件而不是充分条件。定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列｛xn｝收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列｛xn｝冇两个了•数列收敛于不同的极限，那么数列｛xn｝是发散的，如数列1，-1，1，-1,(-l)n+l…屮子数列｛x2k-l｝收敛于1,｛xnk｝收敛于-1,｛xn｝却是发散的洞时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。3、函数的极限阑数极限的定义中0定理(极限的M部保号性)如果lim(x—x0)时f(x)=A,而且A〉0(或A0(或f(x)〉O)，反之也成立。函数f(x)当x-x()时极限存在

4、的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(xO-O)=f(xO+O),若不相等则limf(x)不存在。一般的说，如果lim(x->m)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果Iim(x-*x0)f(x)=oo,则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。4、极限运算法则定理奋限个无労小之和也是无穷小;奋界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果Fl(x)^F2⑻，而IimFl(x)=a，limF2(x)=b»那么a^b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x-*O)(

5、sinx/x)=l;lim(x-*叫(l+l/x)x=l.火逼准则如果数列｛xn｝、｛yn)>｛zn｝满记下列条件：ynxO吋的极限存在，且等于它在点xO处的函数值f(xO)，即Hm(x->xO)f(x)=f(xO)，那么就称函数f(x)在点xO处连续。不连续情形：1、在点x=xO没冇定义;2、M在x=xO冇定义但linXx-^xO)^)不存在;3、过在x=xO有定义且

6、lim(x-*xO)f(x)存在，但lim(x-*xO)f(x)矣f(xO)吋则称函数在xO处不连续或间断。如果x()是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x()为函数f(x)的第一类叫断点(左右极限相等者称可去问断点，不相等者称为跳跃叫断点)。非第一类叫断点的任何间断点都称为第二类间断点(无労间断点和震荡间断点)。定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。定理如果函数f(x)在区间lx上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对皮的区间Iy={y

7、y=f(X),XGlx}上单调增加或减少且连续。反三角阑数

8、在他们的定义域内都是连续的。定理(蛙大值蛣小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定冇蛣大值和敁小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有敁大值和敁小值。定理(奋界性定理)在W区间上连续的阑数一定在该区间上奋界，即定理(零点定理)设W数f(x)在闭区间［a,b］上连续，iLf(a)与f(b)异号(即f(a)Xf(b)推论在闭区间上连续的函数必取得介于敁大值M与蛣小值m之间的任何值。备考数学可分为以下几个阶段.一、基础夯实阶段——全面复习(2015年6月前)苜先，明确考试科目。考研数学分为数一、数二、数三，结合&己专业以及

9、报考院校，明确考试科H。