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1、考研高数：函数与极限部分定理定义汇［摘要］下面是凯程考研对高等数学川函数与极限部分定理定义的整理总结，分享给各位考生，希望对考生们的复习有所帮助。进入秋季强化阶段已经有一段时间了，考研的小伙伴们,加油啊！1、函数的有界性在定义域内有f(x)NK1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)WK2,则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列｛xn｝不能同时收敛于两个不同的极限。定理(收敛数列的有界性)如果数列｛xn｝收敛，那么数列｛xn｝—定有界
2、。如果数列｛xn｝无界，那么数列｛xn｝—定发散;但如果数列｛xn｝有界，却不能断定数列｛xn｝一定收敛，例如数列1,・1,1,・1,(-l)n+l-该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列｛xn｝收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列｛xn｝有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列｛xn｝是发散的，如数列1,・1,1,(・1)11+1・・・中子数列｛x2k-l｝收敛于1,｛xnk｝收敛于・1,｛xn｝却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。3、函数的极限
3、函数极限的定义中0<
4、x・x0
5、表示xHxO,所以x-*xO时f(x)有没有极限与f(x)在点xO有没有定义无关。定理(极限的局部保号性)如果lim(x-*xO)时f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在着点那么xO的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0),反之也成立。函数f(x)当x->xO时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各口存在并且相等，即f(xO-O)=f(xO+O),若不相等则limf(x)不存在。—般的说，如果lim(x-*°°)f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim
6、(x-*xO)f(x)=°°,则直线x=xO是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。4、极限运算法则定理有限个无穷小Z和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果Fl(x)2F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a^b.5^极限存在准则两个重要极限lim(x-*O)(sinx/x)=1;lim(x-*°°)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}>{yn}>{zn}满足下列条件：ynWxnWzn且limyn二a,limzn二a,那么limxn=a,对于函
7、数该准则也成立。单调有界数列必有极限。6、函数的连续性设函数y二f(x)在点xO的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x-xO吋的极限存在，且等于它在点xO处的函数值f(xO),即lim(x-*xO)f(x)=f(xO),那么就称函数f(x)在点xO处连续。不连续情形：1、在点x=xO没有定义;2、虽在x=xO有定义但lim(xfxO)Rx)不存在;3、虽在x=xO有定义且lim(x->xO)f(x)存在，但lim(x->xO)f(x)f(xO)吋则称函数在xO处不连续或间断。如果x()是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称xO为函
8、数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何I'可断点都称为第二类I'可断点(无穷间断点和震荡I'可断点)。定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。定理如果函数f(x)在区间lx上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy二{y
9、y二f(x),X丘【X}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，
10、那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即mWf(x)WM.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)Xf(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点C(a<4推论在闭区间上连续的函数必収得介于最大值M与最小值m之间的任何值。［摘要］考研数学屮高等数学部分考查内容较多，所占分值较大。下面是凯程考研对历年考研真题题型进行的整理总结，分享给各位考生，希望对各位考生有所帮助。考研数学屮高等数学部分考查内容较
11、多，所占分值较大。为了帮助考生对高等数学更有效的复习，凯程考研对历年考研真题题型的进行了整理，分享给各位考生，希望对各位考生有所帮助。1
