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1、洛必达法则洛必达法则(1)(1)当当x→a((或或x→∞))时时,,fx()及及Fx()都趋都趋于零（或无穷大于零（或无穷大））；；(2)(2)在点在点a的某去心邻域的某去心邻域((或或
2、
3、x>M>0))内内,,fx′()及及Fx′()都存在且都存在且Fx′()≠0；；fx′()(3)(3)lim存在存在((或为无穷大或为无穷大).).x→aFx′()(x→∞)fx()fx′()则则lim=lim..x→aFx()x→aFx′()(x→∞)(x→∞)等价无穷小量替换等价无穷小量替换（代换）（代换）定理：定理：在同一个极限过程在同一个极限过程,,若若ααββ∼′,∼′，则，则limα=limα′
4、=limα′=limα..ββ′ββ′注注：：等价无穷小量代换一般只能用在等价无穷小量代换一般只能用在整体整体乘乘、、除关系除关系，，而不能用在而不能用在局部局部乘乘、、除关系除关系和整体和整体加加、、减关系减关系..常用等价无穷小量：常用等价无穷小量：11、、当当x→0时时,,(1)(1)sin~tan~arcsin~arctanxxxx∼xxx(2)(2)ln(1+x)~e−1∼x;a−1~xln,aα12(3)(3)(1+x)−1~αx,1cos~−xx..222、、xxxx→→→→1,ln1,ln1,ln1,lnxxxx∼∼∼∼xxxx−−−−1111带皮亚诺余项带皮亚诺余项的的泰勒公
5、式泰勒公式::若若fx()在在x及其附近有直到及其附近有直到n阶的导数阶的导数,,则则0()n=+′−++f(x0)−nfx()fx()fx()(xx)⋯(xx)0000..n!n+ox((−x))0特别当特别当x=0时，称为麦克劳林公式时，称为麦克劳林公式0()nf′′(0)2f(0)nnfx()=f(0)+f′(0)x+x+⋯+x+ox().2!n!在使用泰勒公式的时候，常用到如下无穷小的在使用泰勒公式的时候，常用到如下无穷小的运算：运算：ox()2+ox()3=o(),x2xox⋅()2=ox(),3ox()2±ox()2=ox(),(3)2o±x2=ox().2常用的麦克劳林展开式：常
6、用的麦克劳林展开式：2xx2e=+1x++ox();23x3sinx=x−+ox();3!2x2cosx=−1+ox();2!2x2ln(1+x)=x−+ox();2在自变量同一变化过程下α()x→0,()βx→0α()x（1）高阶：若lim=0，记为α()x=οβ[()];xβ()xα()x（2）低阶：若lim=∞，记为β()x=οα[()];xβ()xα()x（3）同阶：若lim=C≠0,记为α()x=O[()];βxβ()x若C=1，称α(),()xβx是等价无穷小，记为α()x∼β();xα()x（4）无穷小量的阶:若lim=C≠0，称α()x是β()xk[()]βx的k阶无穷小量.宝
7、典公式：(1)(1)lim()0,limgx=fx()=A，则lim()0fx=；gx()(2)(2)lim()0,limfx=fx()=≠A0，则lim()0gx=；gx()(3)(3)已知lim()()fxgx=A，lim()fx=∞，则lim()0gx=..1.连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续.2.初等函数在其定义区间内处处连续.3.闭区间上连续函数的性质(1)最值性:若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值.(2)有界性:若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界.(3)介值性:若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在
8、[a,b]上可取到介于它在[a,b]上最小值与最大值之间的一切值.(4)零点定理(或根的存在定理):若f(x)在[a,b]连续,且f(a)⋅f(b)<0,则必∃ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0.求导法则：1．四则运算法则；2．复合函数求导法；3．隐函数求导法；4．反函数求导数；5．参数方程求导法；6．对数求导法；7．高阶导数.高阶导数1．归纳法(n)求一阶y′、二阶y′′，归纳n阶导数y．n2．公式法（莱布尼兹公式）：(uv)(n)=∑Cnku(k)v(n−k).k=0()n注：(1)sin(⎡axb+)⎤=ansin(axbn++⋅π);⎢⎥⎢⎣⎥⎦2()n⎡⎤n⎢cos(axb+)⎥=aco
9、s(axbn++⋅π);⎢⎣⎥⎦2()nn⎛ax⎞⎛a⎞ax(2)⎜⎟=⎜ln⎟⋅;⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠()nn(3)[(1+x)]µ=µµ(−1)(⋯µ−+n1)(1+x)µ−;特别地，()xn()n=n!；()xn(1)n+=0.()n⎛1⎞−1(1)!−nn⎜⎜⎟⎟=[(1+x)]()n=；⎜⎝1+x⎟⎠(1+x)1+n()n⎛1⎞1()nn!⎜⎟=[(1−x)]−=；⎜⎟⎜⎝1−x⎟⎠(1)−
