高数重要定理打印(高数上下)

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1、洛必达法则(1)当xa(或x)时,fx()及Fx()都趋于零（或无穷大）；(2)在点a的某去心邻域(或

2、

3、xM0)内,fx()及Fx()都存在且Fx()0；fx()(3)lim存在(或为无穷大).xaFx()(x)fx()fx()则limlim.xaFx()xaFx()(x)(x)等价无穷小量替换（代换）定理：在同一个极限过程,若,，则limlimlimlim.注：等价无穷小量代换一般只能用在整体乘、除关系，而不能用在局部乘、除关系和整体加、减关系.常

4、用等价无穷小量：1、当x0时,(1)sin~tan~arcsin~arctanxxxxxxx(2)ln(1x)~e1x;a1~xln,a12(3)(1x)1~x,1cos~xx.22、x1,lnxx1带皮亚诺余项的泰勒公式:若fx()在x及其附近有直到n阶的导数,则0()nf(x0)nfx()fx()fx()(xx)(xx)0000.n!nox((x))0特别当x0时，称为麦克劳林公式0()nf(0)2f(0)nnfx()f(0)f(0)xxxox().2!n!在使用泰勒公

5、式的时候，常用到如下无穷小的运算：ox()2ox()3o(),x2xox()2ox(),3ox()2ox()2ox(),(3)2ox2ox().2常用的麦克劳林展开式：2xx2e1xox();23x3sinxxox();3!2x2cosx1ox();2!2x2ln(1x)xox();2在自变量同一变化过程下()x0,()x0()x（1）高阶：若lim0，记为()x[()];x()x()x（2）低阶：若lim，记为()x[()];x()x()x（3）同阶：若li

6、mC0,记为()xO[()];x()x若C1，称(),()xx是等价无穷小，记为()x();x()x（4）无穷小量的阶:若limC0，称()x是()xk[()]x的k阶无穷小量.宝典公式：(1)lim()0,limgxfx()A，则lim()0fx；gx()(2)lim()0,limfxfx()A0，则lim()0gx；gx()(3)已知lim()()fxgxA，lim()fx，则lim()0gx.1.连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续.2.初等函数在其定义区间内处处连

7、续.3.闭区间上连续函数的性质(1)最值性:若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值.(2)有界性:若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界.(3)介值性:若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可取到介于它在[a,b]上最小值与最大值之间的一切值.(4)零点定理(或根的存在定理):若f(x)在[a,b]连续,且f(a)f(b)0,则必(a,b)，使f()0.高阶导数1．归纳法(n)求一阶y、二阶y，归纳n阶导数y．n2．公式法（莱布尼兹公式）：(uv)(n)

8、Cnku(k)v(nk).k0()n注：(1)sin(axb)ansin(axbn);2()nncos(axb)acos(axbn);2()nnaxaax(2)ln;()nn(3)[(1x)](1)(n1)(1x);特别地，()xn()nn!；()xn(1)n0.()n11(1)!nn[(1x)]()n；1x(1x)1n()n11()nn![(1x)]；

9、1x(1)x1n(1)nn1(4)[ln(1x)]()n1(1)(n1)!.1x(1x)n一、罗尔定理设fx()在[,]ab连续,在(,)ab内可导，且fa()fb(),那么至少(,)ab，使f()0.二、拉格朗日中值定理设fx()在[,]ab连续,在(,)ab可导,那么至少存在fb()fa()一个(,)ab,使f().ba三、柯西中值定理设fxgx(),()在[,]ab上连续,在(,)ab内可导，且gx()0,那么至少存在一个(,)ab，使fb()fa()

10、f().gb()ga()g()四、泰勒定理（带拉格朗日余项的泰勒公式）设fx()在区间I上(n1)阶可导,xI，那么0xI,至少存在一个，使f