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时间:2018-12-03
《等比数列前n项和1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.5等比数列的前n项和(一)海南省洋浦中学周丽宇从前,有个贪婪的地主,总是剥削他的佃农,有一天,农夫终于想到了一个办法来对付这个地主。春天到来时,地主对农夫说:“一年之计在于春,又到了春播时节了。你到地里干一个月(30天)的活,先来谈谈你的工钱。哎,最近官吏征收繁多,地主家也没有多少余粮啊。”农夫说:“这样吧,工钱不要了,我每天给你一袋米(40斤),你第一天给我一粒大米,第二天给我两粒,第三天四粒,第四天八粒…以后每天给我的大米数是前一天的2倍。你看如何?”地主心想:第一天1粒,第二天2粒,第三天4粒,第四天8粒…居然有这么笨的农夫,我一把米可以换他多少袋米啊。哈哈,我
2、赚大发了。地主就马上同农夫进行了签字画押。问题引入求等比数列的前30项的和。(二)问题探究问题1:这个故事中,地主中计了吗?到底谁吃亏了?问题2:这个月,农夫一共要给地主多少斤米?问题3:这个月,地主一共要给农夫多少斤米?(1000粒米约40克)40×30=1200(斤)问题4:这是什么数列求和?求前多少项的和?现在我们一起来寻找答案。米粒的总数为:问题5:如何求出这个和?用计算器怎么样?问题7:怎样求等比数列的前n项和公式?问题6:等差数列有求和的公式,那么等比数列是否也有求和的公式呢?若有就直接用公式时间很长,太麻烦了。(二)问题探究问题8:能否类比等差数列前n项和公
3、式的求法?根据①式,如何构造另一个式子②?②把这两个式子怎么样?等差数列求和公式的推导①①+②得:倒序相加(三)方法回顾的目的:出现相等的项,从而化简等比数列的前n项和公式解析1:找个具体的等比数列来检验问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。?(四)类比探究每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!所以解析2:一般地,对于等比数列,因为:问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。?等比数列的前n项和公式(四)类比探究无法化简问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。?反思:
4、对于等比数列求和,不能照搬倒序相加的方法。而是要挖掘此方法的本质(求和的根本目的)。问题2:求和的根本目的是什么?答:求和的根本目的是消项。消项后就可化简。改进:为了看清式子的特点,我们不妨把各项都用首项和公比来表示。①等比数列的前n项和公式(四)类比探究①问题4:类比等差数列求和方法,需要构造另一个式子②,而要达到消项的目的,就须使两式具有____问题3:观察求和的式子①,相邻两项有什么特征?怎样把某一项变成它的后一项?后项=前项×公比相同的项问题5:如何构造式子②?将式子①的两边都乘以②问题6:为了消项,接下来将这两个式子怎么样?相减等比数列的前n项和公式(四)类比探
5、究①-②得:问题7:要求出,是否可以把上式两边同除以?当时,除以得:当时,①②注意:分类讨论是一种常用的数学思想方法!等比数列的前n项和公式(四)类比探究当q=1时,当q≠1时,则探究成果:①等比数列的前n项和公式(四)类比探究等差数列方法小结:课后思考:用错位相减法求和时只能乘以公比吗?能否乘以其它的数?联想我们所学过的知识,即类比________,挖掘其方法的___(求和的根本目的是___),结合等比数列自身的___来构造式子②,再把两式___,这种求和方法叫做______求和方法本质消项特征相减错位相减(四)类比探究问题1:还有其它的推导方法吗?①问题2:根据①式的
6、特点,能否建立一个关于的方程?若能,就可从方程中解出问题3:①式的左边是,要建立一个关于的方程,那就要将①式的右边也用含的式子来表示。问题4:观察①式的右边,从第二项开始,每一项都含有因式,是否可考虑将之提出来?(五)方程探究等比数列的前n项和公式①问题5:括号里面的,与①式右边对照,少了哪一项?问题6:括号里面的,怎样用含的式子表示?从这个方程解出问题7:这样就得到了一个什么方程?问题8:解方程时要注意对______进行__。一元一次方程未知量的系数讨论(五)方程探究等比数列的前n项和公式移项,得:当q=1时,当q≠1时,①①(五)方程探究等比数列的前n项和公式(建立方
7、程)用表示注意:方程法是一种重要的数学思想方法!一部分项提公因式过程小结:解方程根据等比数列求和式子的特点,对其部分项提出公因式__后,可将其用含___的式子表示出来,从而建立关于___的方程,解此方程即可。课后思考:对和式①的右边部分,只能提出公比吗?能否提出其它的公因式?(五)方程探究(六)熟悉理解等比数列前n项和公式当q≠1时,当q=1时,①②思考1:根据公式①,要求一个等比数列的前n项和,一般要先求出哪些量?思考2:能否将Sn和用a1,q,an来表示?思考3:什么时候用公式①,什么时候用公式②?例1.求下列等比数列前8
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