[理学]第6章数理统计的基本概念

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1、第6章数理统计的基本概念第1章至第5章属于概率论范畴；第6章至第9章属于数理统计范畴。概率论、数理统计都是研究随机现象的统计规律性的数学分支，但两者研究角度不同。概率论：从已知分布出发，研究r.v.X的性质、规律、数字特征等等——演绎数理统计：X的分布不知道或不完全知道，观察它的取值（采集数据），通过分析数据来推断X服从什么分布或确定未知参数——归纳收集、整理数据统计推断数理统计26.2总体与样本1.总体：研究对象的全体（如：一批灯泡的寿命）试验的全部可能的观察值——通常指研究对象的某项数量指标从本质上讲，总体就是所研究的随机变量个体

2、：组成总体的元素（如:某一个灯泡的寿命）总体对应一个r.v.X，笼统称总体X（或Y、Z大写表示）每个可能的观察值如：考察某大学大一2000名男生的身高如：测量一湖泊任一地点的深度有限总体无限总体3(1)简单随机抽样①随机性:每个个体被抽到的机会均等②独立性:每次抽取后不改变总体的成分①同分布性Xi与总体X同分布②独立性X1,…,Xn相互独立(2)对总体作n次“简单随机抽样”，得到n个个体：X1,X2,…,Xn，称为总体的一个样本容量为n的样本,简称样本。(3)把（X1,…,Xn）的观察值(x1,…,xn)为称为样本观察值(或样本值)2

3、.样本4来自总体X的样本X1，…，Xn可记为显然，样本联合分布函数或概率密度为或53.总体、样本、样本观察值的关系总体样本样本观察值？理论分布统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。经验分布函数设X1,X2,…,Xn是总体F(x)的一个样本，S(x)是X1,X2,…,Xn中不大于x的个数，定义经验分布函数为Fn(x)=S(x)/n,-∞

4、理x(1)≤x(2)≤…≤x(n)则经验分布函数为一般，设样本值x1,x2,…,xn依次排列：定理(格里汶科)经验分布函数Fn(x)以概率1关于x一致收敛于F(x):86.4统计量与抽样分布定义：设(X1,…,Xn)是来自总体X的样本，称不含未知参数的样本函数g(X1,…,Xn)为总体X的一个统计量。注:统计量是一个一维随机变量，统计量的分布称为抽样分布.例1.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，X~N(,2),且已知，2未知，问下列样本函数哪个是统计量？是统计量不是统计量10几个常用的统计量：1.样本均值2.样本方

5、差反映总体方差D(X)的信息反映总体均值E(X)的信息样本标准差反映总体标准差的信息反映总体k阶中心矩E[(X-EX)k]的信息样本k阶中心矩3.样本k阶(原点)矩反映总体k阶矩E(Xk)的信息124.最小顺序统计量X(1)=min(X1,X2,…,Xn)最大顺序统计量X(n)=max(X1,X2,…,Xn)注1：观察值用小写表示,记为注2：13（一）χ2分布统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：χ2分布、t分布和F分布构造：设，则称为自由度为n的χ2分布注：若来自正态总体　　　，则141.χ2分布的密度函数f(y)

6、曲线15设且相互独立，则2.χ2分布具有可加性163.分布的数字特征证：,X1,X2,…,Xn为N(0,1)的样本,∴E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1,于是又D(Xi2)=E(Xi4)-[E(Xi2)]2,而∴D(Xi2)=2，174.分布的分位点当n>45,有近似公式对若满足则称为的分位数例2.例3.18构造：若X~N(0,1),Y~χ2(n),且X与Y独立，则称为自由度为n的t分布。（二）t分布1.t(n)的概率密度为192.h(t)基本性质(p171):(1)关于t=0(纵轴)对称。(2)极限为N(0,1)的密度函

7、数，即203.t分布的分位点注:当n>45,有近似公式例4.21（三）F分布称为自由度为（n1,n2）的F分布.构造:若，且U、V独立，则1.概率密度为222.F分布的性质1)若F～F(n1,n2)，则2)若T～t(n),则T2～F(1,n)证：X~N(0,1),∴T2~F(1,n)3.F分布的分位点24证明:设F~F(n1,n2),则注：25正态总体的抽样分布定理26证明:是n个独立的正态r.v.的线性组合故服从正态分布即27证明:且两者独立,根据t分布的构造28定理我们介绍了常用的统计三大分布：我们还介绍了几个抽样分布定理，要牢固

8、掌握.分布,t分布,F分布.注意它们的定义和基本性质.