高中数学第二章数列本章整合学案新人教b版必修5

高中数学第二章数列本章整合学案新人教b版必修5

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1、第二章数列本章整合知识网络专题探究专题一 求数列的通项公式数列的通项是数列的重要内容之一,只要有数列的通项公式,许多问题就可迎刃而解.如果一个数列是等差数列或等比数列,则可直接写出其通项公式,而对于非等差、等比数列的通项公式可通过适当的变形、构造等使之成为等差或等比数列来求解.因此数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的关键,现根据数列的结构特征把常见求解方法和技巧总结如下.(一)观察法【应用1】已知数列,,-,,-,,…,则此数列的一个通项公式是________.提示:已知数列的前若干项,求该数列的通项公式时,一般先对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项公式.解析

2、:观察数列每项的绝对值,分母为2,4,8,16,32,…,是2n的形式,而分子,从第二项起满足“分子-分母=-3”,因此改写第一项为-,这样,数列中每一项的绝对值都满足“分子-分母=-3”8这一规律,且数列中每一项的符号为“-”“+”交替出现,故an=(-1)n.答案:an=(-1)n(二)定义法【应用2】等差数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列,S5=a.求数列{an}的通项公式.提示:本题已知{an}是等差数列,可建立首项和公差的方程,通过解方程来求得首项和公差,再代入通项公式得其解.解:设数列{an}的公差为d(d>0).∵a1,a3,a9成等比数列,∴

3、=a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),得d2=a1d.∵d>0,∴a1=d.①∵S5=,∴5a1+d=(a1+4d)2.②由①②,得a1=,d=.∴an=+(n-1)×=n.(三)Sn法【应用3】设数列{an}的前n项和为Sn=2n2,{bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.求数列{an}和{bn}的通项公式.提示:本题已知Sn的表达式,自然想到使用公式an=求解.解:当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,当n=1时也适用,故{an}的通项公式为an=4n-2.设{bn}的公比为q,则b2(a2-a1

4、)=b1qd=b1,又d=4,∴q=.又a1=b1=2,故bn=b1qn-1=2×,即{bn}的通项公式为bn=.(四)累加法8【应用4】已知在数列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列{an}的通项公式.提示:由于本题给出了数列{an}中连续两项的差,故可考虑用累加法求解.解:由an+1-an=3n-n,得an-an-1=3n-1-(n-1),an-1-an-2=3n-2-(n-2),…a3-a2=32-2,a2-a1=3-1.当n≥2时,以上n-1个等式两端分别相加,得(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=3n-1+3n-2+…+3-[(n-1

5、)+(n-2)+…+1],即an-a1=-.又∵a1=1,∴an=×3n--.显然a1=1也适合上式,∴{an}的通项公式为an=×3n--.(五)迭乘法【应用5】已知在数列{an}中,a1=,前n项和Sn与an的关系是Sn=n(2n-1)an,求an.提示:此题已知Sn与an的关系,应想到使用Sn法,然后得到相邻两项比的等式满足an=an-1f(n)这种模型,因此使用迭乘法求解.解:当n≥2时,由Sn=n(2n-1)an,得Sn-1=(n-1)(2n-3)·an-1,两式相减,得(2n+1)an=(2n-3)an-1,∴=.∴=,…,=.将上面n-1个等式相乘,得=8=,∴当n≥2时,an

6、=.当n=1时,a1=满足上式,故对n∈N+,有an=.(六)辅助数列法【应用6】在数列{an}中,a1=1,an+1=an+1,求数列{an}的通项公式.提示:对于an+1=pan+q这一类型的递推关系式,常用配常数法求通项公式.设an+1+k=p(an+k),对比递推关系式,可得k=,构造出等比数列{an+k}.解:令an+1+k=(an+k),∵an+1=an+1,对比可得k=-2,∴an+1-2=(an-2).∴{an-2}是首项为a1-2=-1,公比为的等比数列.∴an-2=-1·n-1=-n-1.∴an=-n-1+2.专题二 数列的求和问题我们已学习了等差数列和等比数列,并熟悉了

7、有关等差数列和等比数列的求和公式,然而有些数列既不是等差数列,又不是等比数列,像这样的数列如何求和呢?数列的求和常涉及分类讨论、转化化归等思想方法.在求数列的前n项和Sn时,要掌握以下几种常用的方法:(一)并项转化求和法【应用1】求和:Sn=12-22+32-42+52-62+…+992-1002.提示:根据条件可知:前后两项相互结合,利用公式化简求值得出和.解:由平方差公式,得Sn=(1-2)(1+2)+(

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